Expressions agébriques qui dépendent d'un paramètre

[Boss_maths]

Bonjour à tous,

Je solicite votre aide pour répondre à une question récurrente qui concerne les expressions algébriques qui dépendent d'un paramètre. En effet, il est assez fréquent que je rencontre, suivant l'exercice, une question proche de celle-ci :
"Soit la fonction : (1), mettre cette expression sous la forme : , résoudre les système suivant :

Puis, montrer que la courbe passe par 2 points dont les coordonnées sont indépendantes de m."
Ou encore :
"Soit la relation E : , mettre E sous la forme : , résoudre le système suivant :

Puis, montrer que, , la courbe passe par un point dont les coordonnées sont indépendantes de m."
Et pour finir :
"Soit la relation E : , mettre E sous la forme : , résoudre le système suivant :

Puis, montrer que , la courbe passe par 2 points dont les coordonnées sont indépendantes de m."

Ok, je comprend qu'indépendant de m signifie un point fixe/immobile qui appartient à la courbe et je remarque aussi, que c'est dans l'expression les termes en produit avec m qui déterminent la dépendance. Même si j'ai résolu le 1er exemple (1), j'ai du mal à comprendre... surtout si je ne trouve pas le point fixe !

Merci d'avance pour vos réponses,
@+

PS : Déplacez la question sur une autre forum, si vous jugez que celui-ci n'est pas adapté.

[Doraki]

Par exemple pour le 1,

le fait de mettre y sous la forme f(x)+m*g(x), c'est pour mettre en évidence la manière dont y dépend de m.
Ca te dit que si tu gardes x fixé, et que tu fais bouger m, la relation entre y et m est affine.
Pour tout x, {(m,y) / y=...} est une droite.

A l'inverse, la forme initiale de la fonction met en évidence la manière dont y dépend de x vu que c'est écrit comme un polynôme en x de degré 2, mais où chaque coefficient dépend de m.


Si un jour t'essayes de te représenter le graphe de la fonction y dans R^3, (l'ensemble des points (x,m,y)), tout ça te dit que c'est une sorte de surface S telle que S intersectée avec un plan d'équation (x=x0) est une droite,
et que S intersectée avec un plan d'équation (m=m0) est une parabole, sauf pour un m0 spécial où c'est une droite.

L'exercice c'est donc bien d'identifier que quand on laisse x fixe et que m bouge, on obtient une droite,
et que pour deux certaines valeurs de x, cette droite est horizontale (faire varier m ne fait pas varier y)

(je sais pas trop ce qu'ils entendent par "courbe de f" quand ils demandent de montrer qu'elle contient un point aux coordonnées indépendantes de m, ils auraient sans doute pu poser la question plus clairement)

[Boss_maths]

Bonjour !

Ce sont tous des exemples d'exercices sorties d'un livre de cours de 1ère C des années 60 et c'est souvent présenté comme une question indépendante dans l'exo. Par exemple, (1) est mis sous la forme demandée comme ceci :

Les 2 valeurs de x issues/solutions de l'équation avec m , on les "injecte" dans , ce qui permet d'obtenir la valeur de l'ordonnée y pour les 2 points fixes: (1;1), (-2;4) indépendants de m.
Cf les courbes traçées avec Geogebra ici : http://cjoint.com/?2mopMUhwspa pour 3 valeurs de m dans M={0;1/2;3}, par exemple.
Concernant les 2 autres exemples, il s'agit de relations homographiques, qui sont des expressions associées à des fonctions homographiques, mais paramétrés dans ce cas là. Si tu veux une expression du genre :
ou présenté autrement :
En fait, ce ne sont pas exercices de géométrie mais, plutôt, des exercices d'algèbre consacrés au second degré et/ou aux fonctions "élémentaires". Je souhaite savoir si cette méthode, qui isole en 2 parties l'équation, permet à tous les coups de trouver les points fixes de la courbe associée à son expression initiale ? Est-ce que mes explications sont claires ?

Merci et @+ :lol3:

[Doraki]

Ben la méthode c'est pas tellement "mettre le truc en 2 parties", c'est surtout identifier et comprendre la manière dont y dépend de m.

[Boss_maths]

Ben la méthode c'est pas tellement "mettre le truc en 2 parties", c'est surtout identifier et comprendre la manière dont y dépend de m.

J'ai fais un essai "au hasard" et j'obtiens le résultat escompté !
La fonction de départ est
Les 2 points fixes que je trouve par le calcul sont : et , m pris dans M= pour Geogebra :
http://cjoint.com/?2moxxvwnv8y
Même avec des cercles c'est bon :lol3:
http://cjoint.com/?2mpbwlpSM8G

En ce qui concerne le 2ème exemple donné en introduction, le point fixe est (0;1).
Celà me fait penser (de loin) visuellement à illustrator et ses courbes que l'on déforme autour de certains points d'ancrages pour obtenir des formes "conditionnées" justement par ces points.
Peut-on généraliser ? Je n'ai pas le bagage pour l'expliquer :wrong:

Merci et @+

[Boss_maths]

Le message qui traite du cours, c'est la réponse :http://www.ilemaths.net/forum-sujet-289399.html ?