[Analyse] Primitive d'une fonction continue par morceaux

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euler21
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[Analyse] Primitive d'une fonction continue par morceaux

par euler21 » 19 Aoû 2010, 01:47

Bonsoir
Au cours de mes lectures, je suis tombé sur le résultat suivant :
"D'ailleurs, si une fonction continue par morceaux admet une primitive, alors elle est continue"
Si quelqu'un peut m'expliquer comment on peut démontrer ce résultat



dibeteriou
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par dibeteriou » 19 Aoû 2010, 02:11

Et bien une réponse expéditive est apportée par le théorème de Darboux :
Toute dérivée vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.


Si une fonction est continue par morceaux non continue, elle est discontinue en un point isolé .
En se restreingnant à un intervalle :
-qui ne contienne pas d'autre point de discontinuité (possible car il n'y en a qu'un nombre fini par segment)
-et assez voisin de x pour qu'on ait et
disjoints (possible par continuité des restrictions à ces deux intervalles)

on nie ce théorème.

Nightmare
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par Nightmare » 19 Aoû 2010, 02:19

Salut,

c'est clairement faux, toute fonction continue par morceau admet des primitives.

Un contre exemple s'il en faut un : La dérivée de f : x²sin(1/x) (f'(0)=0)

euler21
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par euler21 » 19 Aoû 2010, 02:24

salut
la fonction définie sur [0,2] par
f(x)=0 si x est différent de 1
f(x)=1 si x=1
est ce qu'elle admet une primitive??
je ne pense pas

dibeteriou
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par dibeteriou » 19 Aoû 2010, 02:31

Nightmare a écrit:Salut,

c'est clairement faux, toute fonction continue par morceau admet des primitives.

Un contre exemple s'il en faut un : La dérivée de f : x²sin(1/x) (f'(0)=0)

Bonsoir.
Ta fonction n'est pas continue par morceaux :triste:

Nightmare
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par Nightmare » 19 Aoû 2010, 02:36

Pourtant, elle est continue partout, sauf en 0, ce qui me semble bien suffisant pour dire qu'elle est continue par morceau !

euler21 > Si tes primitives doivent être dérivables partout, alors non effectivement, elle n'admet pas de "primitive". Maintenant, on peut toujours appeler "primitive" une jonction des morceaux de primitive.

dibeteriou
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par dibeteriou » 19 Aoû 2010, 02:41

Certes, mais elle n'est pas prolongeable par continuité sur l'intervalle (ni d'ailleurs sur ).

De même que la fonction si , ne l'est pas (sinon comment définir son intégrale sur ? ;-) )

euler21
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par euler21 » 19 Aoû 2010, 02:41

oui effectivement mes primitives doivent être dérivables partout (programme des classes préparatoires quoi) d'ailleurs j'ai demandé cette question parce qu'au programme on définit la primitive d'une fonction continue tout cours et l'intégrale d'une fonction continue par morceaux (programme MPSI)

dibeteriou
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par dibeteriou » 19 Aoû 2010, 02:49

euler21 a écrit:oui effectivement mes primitives doivent être dérivables partout (programme des classes préparatoires quoi) d'ailleurs j'ai demandé cette question parce qu'au programme on définit la primitive d'une fonction continue tout cours et l'intégrale d'une fonction continue par morceaux (programme MPSI)

En gros pour construire l'intégrale sur un segment d'une fonction continue par morceaux, on s'abstrait de ce qu'il se passe aux points de discontinuité.

En pratique, tout se passe comme si on intégrait chaque restriction aux intervalles ouverts de subdivision, qu'on prolonge pour donner une fonction continue sur le segment correspondant (donc on se ramène à ce qu'on connaît en somme).

Nightmare
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par Nightmare » 19 Aoû 2010, 03:40

dibeteriou a écrit:Certes, mais elle n'est pas prolongeable par continuité sur l'intervalle (ni d'ailleurs sur ).

De même que la fonction si , ne l'est pas (sinon comment définir son intégrale sur ? ;-) )


Tu as tout à fait raison! Mea culpa

 

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