Intégration d'une fonction continue par morceaux

[Indocam]

Bonjour,

Est ce que quelqu'un pourrait me renseigner sur l'intérêt d'un exercice comme celui ci:

http://www.casimages.com/img.php?i=101125031727284932.jpg

en fait je ne comprend pas à quoi cela sert d'avoir pour définition que l'intégrale d'une fonction continue par morceaux et la limite de l'intégrale d'une fonction en escalier convergent uniformément vers f. Alors qu'il ne suffit pas de sommer les intégrales de f sur ces intervalles de continuité??

Merci de vos réponses.

[arnaud32]

tu as une definition de l'integrale pour tout fonction qui est une limite uniforme de fonctions en escalier.

[Nightmare]

Alors qu'il ne suffit pas de sommer les intégrales de f sur ces intervalles de continuité??

Ben oui, mais ça suppose d'avoir une définition de l'intégrale d'une fonction continue, et c'est justement là où on veut arriver !

Le principe est simple : On veut que l'intégrale soit une aire, les aires qu'on connait bien, ce sont celles des rectangles, ça nous permet donc de définir l'intégrale d'une fonction en escalier pour que ça colle à l'idée. Pour élargir l'intégrale, on évalue les limites uniformes des fonctions en escalier. Cela donne une nouvelle classe de fonctions, qu'on appelle fonctions réglées, qui comprend en particulier les fonctions continues par morceaux. Pour cette classe, on définit alors naturellement l'intégrale des fonctions y appartenant comme la limite des intégrales des suites de fonctions en escalier approchant uniformément notre fonction, en montrant que ça ne dépend bien sûr pas de la suite choisie.