Fonction continue et de classe C1 par morceaux

[Guigui1Pierre]

Bonjour,

Soit [a,b] un segment (non réduit à un point) et f une fonction vectorielle continue sur [a,b] et de classe C1 par morceaux sur ]a,b[.
Peut-on alors forcément trouver un réel c dans ]a,b[ tel que f soit dérivable sur ]a,c[ ?

Merci d'avance

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Peux-tu rappeler la définition de "de classe par morceaux" ? Ça donnera la réponse à ta question.

[Guigui1Pierre]

une fct est de classe C1 par morceaux sur un intervalle ouvert (d'intérieur non vide) si elle est de classe C1 par morceaux sur tout segment inclus dans cet intervalle.

Une fct est de classe C1 par morceaux sur un segment (non réduit à un point) si il existe une subdivision (x0,...,xn) de ce segment telle que pour tout i dans {0,1,...,n-1} , la restriction de f à ]xi,x(i+1)[ est prolongeable en une fct définie sur [xi,x(i+1)] et de classe C1.

Je ne vois toujours pas. J'ai l'impression que ce réel que j'ai appelé c n'existe pas forcément car la fonction f pourrait (peut-être) avoir une infinité de points "au voisinage à droite" de a en lesquels f n'est pas dérivable.

[GaBuZoMeu]

Mais enfin, réfléchis !

Une fct est de classe C1 par morceaux sur un segment (non réduit à un point) si il existe une subdivision (x0,...,xn) de ce segment telle que pour tout i dans {0,1,...,n-1} , la restriction de f à ]xi,x(i+1)[ est prolongeable en une fct définie sur [xi,x(i+1)] et de classe C1.

[Guigui1Pierre]

Je suis obligé de restreindre la fct f à un segment [a',b'] inclus dans ]a,b[.
Ensuite, j'ai une subdivision (x0,...,xn) de [a',b'] telle que la restriction de f à ]x0,x1[=]a',x1[ est prolongeable en une fct définie sur [a',x1] et de classe C1.
Mais avec ça, je n'ai pas prouvé que f est dérivable sur ]a,c[ (c défini dans le 1er message).

Je peux certes prendre a' aussi proche de a que je veux mais il y a toujours la portion ]a,a'[ pour laquelle je ne sais pas dire si f est dérivable en tous ses points...

[GaBuZoMeu]

Au temps pour moi !
J'avais mal lu ta question et je pensais que tu voulais seulement un intervalle sur lequel f soit dérivable, alors que tu veux un intervalle de borne gauche a.
Tu as raison, ça ne va pas marcher : prends par exemple sur [0,1] la fonction qui vaut 0 en 0 et qui est linéaire par morceaux sur ]0,1], affine sur chaque intervalle [1/(n+1),1/n] pour n entier >0 et valant respectivement 1/(n+1)^2 et 1/n^2 aux bornes de cet intervalle.
Cette fonction n'est effectivement dérivable sur aucune intervalle ]0,c[ avec c>0.

[Guigui1Pierre]

Dans mon livre Hprépa MP-MP*, pour démontrer l'inégalité des accroissements finis dans le cas d'une fonction vectorielle f définie sur un intervalle I tel qu'il existe des réels a et b tels que:
f est continue sur I
f est de classe C1 par morceaux sur ]a,b[
il existe un réel k tel que pour tout t dans ]a,b[ tel où f est dérivable, ||f'(t)|| est inférieure à k.

La démo du bouquin commence par dire qu'il existe une subdivision (xi) de [a,b] telle que pour tout i dans {0,1,...,n-1} , la restriction de f à ]xi,x(i+1)[ est dérivable.
Ca me semble faux puisque (comme on vient de le voir) on ne peut déjà pas dire qu'il existe un réel c dans ]a,b[ tel que f est dérivable sur ]a,c[ ...

Y'aurait-il une erreur dans l'énoncé du théorème?

[GaBuZoMeu]

Peut-être s'agit-il de f C¹ par morceaux sur [a,b] ?
Sinon, ça ne marche pas. On peut prendre l'exemple que j'ai donné plus haut en remplaçant la fonction "carré" par la fonction "racine carrée".