Question 1
On a f(x) sous forme d'un produit d'un polynôme du 3e degré avec b et c =0 et d'une exponentielle soit f(x)=P(x)*exp(ax) avec P(x)=x^3 et a=-2
Je sais que la dérivée de x^3 est 3x²
Je sais que la dérivée de exp(-2x) est -exp(-2x)/2
Pour trouver la primitive de f(x) je pense que je dois faire une intégration par partie, laborieux.
Je sais qu'on peut aussi la trouver avec F(x)=[P'(x)+aP(x)]exp(ax)
Du coup ici on aurait
F(x) = [3x² - 2x^3] * exp(-2x) ?
Question 2
J'ai pensé à une décomposition en éléments simples puisque c'est ce que ça semble être. En SI, pour décomposer en éléments simples, on calcule le discriminant du dénominateur (pôles), on se retrouve avec un système et on identifie les coefficients. J'ai voulu appliquer cette méthode mais on voit bien que 2+x² ne doit pas bouger. J'ai alors pensé à une mise sous le même dénominateur, mais j'arrive à
(ax+b)(2+x²)+cx+d
= 2ax + ax(^3) + bx² + 2b + cx + d
J'identifie donc a = 1, b=0, c=-1 et d=1, mais j'arrive à une contradiction, car si a = 1, alors 2ax = 2x, or on a pas de terme en 2x dans la fraction de départ.
Du coup, j'y vais façon bourrine en écrivant la fraction de départ comme une somme de fraction, ici je pose D= 2+x² :
[ x(^3) / D ] - [ x / D ] + [ 1 / D ]
Du coup, j'identifie
ax+b = x^3, donc b=0 et a = x²
c = - 1
d = 1.
Ca peut convenir ? Je pense avoir fait une erreur dans ma primitive, car 3x² - 2x^3 n'est pas égal à x^3-x+1
Question 3
Pour calculer cette intégrale je peux me ramener à la décomposition en éléments simples trouvée précédemment en intégrant chaque terme séparément celle-ci étant fausse, je ne peux trouver de résultat juste..
Merci d'avance!
