Preuve

[adamNIDO]

Bonjour,

j'ai un cours de géométrie affine j'ai l'écrit sur latex il ma donne deux pages contient un théorème et sa preuve

j'ai pas bien compris l'autre implication c'est à dire pour montrer que V est une variable affine de X dans la preuve je sais pas si parce que n'est pas complet

c'est quoi la difference entre variete affine et variable affine
de plus si possible j'ai besoin de votre remarques sur ces deux pages s'il y a une erreure ou manque de démonstration merci d'avance

1 ere page

hebergeur image
2eme page

heberger image

[Ben314]

Remarques diverses et variées.... (je complète au fûr et à mesure)

- C'est pas super malin de parler de "variété affine" pour ce que tu définie au 1.1 : dans la littérature, le terme de "variété" désigne très souvent autre chose (de bien plus compliqué). Donc si tu as le choix, utilise plutôt le terme de "sous espace affine" (vu que c'est l'analogue des s.e.v.). Bon, après, si c'est ton prof. qui appelle ça des "variétés", c'est son choix (mais par exemple sur le forum, c'est pas sûr que tout le monde comprenne de quoi tu parle avec tes "variétés affines")
De plus, la plupart des auteurs s'entendent pour dire que l'ensemble vide n'est pas un sous espace affine (ce n'est pas non plus un sous-espace vectoriel)

- Dans la définition 1.1. "le barycentre pondéré de V..." ne veut rien dire.
A remplacer par "Le barycentre de toute famille pondérée d'éléments de V..." (sous entendu "dont la somme des pondérations est non nulle" évidement)

- Théorème 1.2. : déjà, "variété affine", c'est pas terrible, mais "variable affine", c'est encore pire comme dénomination : je vois pas où est le coté "variable" dans un sous-espace affine.

- Dans la preuve du Th. 1.2., ton "Pour que ...on doit avoir" suivi de "(b) Soit .... montrons que..." ne va pas : enlève la première phrase ou modifie la seconde.
- A mon avis, au (a) il faudrait dire pourquoi le vecteur nul est dans E(flèche).
- Je pense qu'à chaque fois que tu écrit ?=Bar(?,?,?), c'est pas con d'écrire que la somme des coeffs est différentes de 0.
- Pour la "réciproque", écrit plutot "On suppose que F est un s.e.v." plutôt que "On pose ..." qui veut dire qu'on écrit une définition ce qui n'est pas le cas ici.
- Il y a une faute de frappe : la somme des alpha_i est non nulle (et pas différente de l'ensemble vide).
- En dessous, idem, si tu écrit "Soit G=..." c'est une définition : tu n'écrit pas un symbole "équivalent" juste derrière surtout si c'est un truc faux : il te manque la somme des coeff. devant le vecteur AG, ou alors, il faut écrire au départ que tu considère que la somme des coeffs fait 1 (ce qui est toujours possible)

- Le début de la remarque 1.1.3 ne vaut pas dire grand chose : V n'est pas un sous espace vectoriel de X et ceci pour une raison très simple : X n'est pas un espace vectoriel (ou alors, il faut considérer le "vectorialisé de X en un point" et ton V sera ou pas un s.e.v. du vectorialisé en fonction du point de base choisi)
- La fin de la remarque, à savoir que le V(flèche) ne dépend pas du point A choisi et que c'est aussi l'ensemble des vecteur MN où M et N décrivent V demande à mon sens une preuve.

[adamNIDO]

Remarques diverses et variées.... (je complète au fûr et à mesure)

- C'est pas super malin de parler de "variété affine" pour ce que tu définie au 1.1 : dans la littérature, le terme de "variété" désigne très souvent autre chose (de bien plus compliqué). Donc si tu as le choix, utilise plutôt le terme de "sous espace affine" (vu que c'est l'analogue des s.e.v.). Bon, après, si c'est ton prof. qui appelle ça des "variétés", c'est son choix (mais par exemple sur le forum, c'est pas sûr que tout le monde comprenne de quoi tu parle avec tes "variétés affines")
De plus, la plupart des auteurs s'entendent pour dire que l'ensemble vide n'est pas un sous espace affine (ce n'est pas non plus un sous-espace vectoriel)

- Dans la définition 1.1. "le barycentre pondéré de V..." ne veut rien dire.
A remplacer par "Le barycentre de toute famille pondérée d'éléments de V..." (sous entendu "dont la somme des pondérations est non nulle" évidement)

- Théorème 1.2. : déjà, "variété affine", c'est pas terrible, mais "variable affine", c'est encore pire comme dénomination : je vois pas où est le coté "variable" dans un sous-espace affine.

c'est à cause de ca que (probleme de notation et de definition ) j'ai rien compris et quand je fais la recherche sur google je trouve autre chose merci de m'avoir explique s'il vous plait pouvez vous me dire mathématiquement par les formules "Le barycentre de toute famille pondérée d'éléments de V..." (sous entendu "dont la somme des pondérations est non nulle" évidement) et pouvez vous m'explique la 2eme implication

merci beaucoup

[Ben314]

pouvez vous me dire mathématiquement par les formules "Le barycentre de toute famille pondérée d'éléments de V..." (sous entendu "dont la somme des pondérations est non nulle" évidement) et pouvez vous m'explique la 2eme implication

C'est exactement ce que tu utilise dans la preuve. Ecrit avec des quantificateurs, ça donnerais :

est un sous-espace affine lorsque :



C'est quoi que tu appelle "la deuxième implication" ?

[adamNIDO]

C'est exactement ce que tu utilise dans la preuve. Ecrit avec des quantificateurs, ça donnerais :

est un sous-espace affine lorsque :



C'est quoi que tu appelle "la deuxième implication" ?

(je dois dire sous espace affine et pas variete affine )

Montrons la deuxième implication . Soit un sous espace vectoriel de

Soit un system tel que
Soit equivalent
car Sous espace vectoriel
ce qui implique que

[Ben314]

Montrons la deuxième implication . Supposons donc que est un sous espace vectoriel de

Soit un système tel que et où les Ai appartient à V pour tout i de {1..p} (il est malin de donner un nom à cette somme vu ce que l'on compte écrire ensuite et il est indispensable de prendre les Ai dans V vu le résultat à montrer : si on ne se sert pas de cette hypothèse, la preuve est fausse)
Soit .
On a donc car F est un sous-espace vectoriel et que les vecteurs AAi sont dans F (qui provient du fait que l'on a pris les Ai dans V et pas n'importe où)
ce qui implique que

[adamNIDO]

merci beaucoup, s'il vous plait autre question , ona que comment ça va nous servir a montrer que est une variable affine de $X$ et quelle est sa définition (variable affine ) mathematquement

[Ben314]

V c'est pas une "variable affine" (G non plus, ni rien que je connaisse n'est une "variable affine")
On veut montrer que V est un sous-espace affine. Et il faut donc montrer que :


Et... c'est ce qu'on vient de faire...

[adamNIDO]

V c'est pas une "variable affine" (G non plus, ni rien que je connaisse n'est une "variable affine")
On veut montrer que V est un sous-espace affine. Et il faut donc montrer que :


Et... c'est ce qu'on vient de faire...

Donc on vient de montrer que

est un sous espace affine affine de est sous espace vectoriel de

[adamNIDO]

j'ai trouvé ce cours sur net Cours mais est ce que vous avez un bon cours de ça qui parle aussi de sous espace sont de faiblement parallele avce des quantificateurs

merci d'avance

[Ben314]

Le cours en question, il parle de sous-espaces affines faiblement parallèles (juste en dessous de la définition de parallèle). Après, j'ai pas regardé s'il y avait beaucoup d'exo. sur la notion.
C'est une notion très "piège" vu qu'elle est pas transitive, par exemple, dans R^3, deux plans affines parallèles à une même droite ne sont pas forcément parallèles ((c'est forcément du "faiblement parallèle" vu qu'une droite et un plan ne sont pas de même dimension)

Après, en regardant en diagonale, le cours m'a l'air bien (j'ai pas regardé les exos) et, je n'ai pas de référence définissant "avec des quantificateurs" toutes ces notions : Normalement, lorsque tu comprend la phrase, l'écrire avec des quantificateurs, c'est juste une bête traduction.

[adamNIDO]

Le cours en question, il parle de sous-espaces affines faiblement parallèles (juste en dessous de la définition de parallèle). Après, j'ai pas regardé s'il y avait beaucoup d'exo. sur la notion.
C'est une notion très "piège" vu qu'elle est pas transitive, par exemple, dans R^3, deux plans affines parallèles à une même droite ne sont pas forcément parallèles ((c'est forcément du "faiblement parallèle" vu qu'une droite et un plan ne sont pas de même dimension)

Après, en regardant en diagonale, le cours m'a l'air bien (j'ai pas regardé les exos) et, je n'ai pas de référence définissant "avec des quantificateurs" toutes ces notions : Normalement, lorsque tu comprend la phrase, l'écrire avec des quantificateurs, c'est juste une bête traduction.

pour moi, je mémorisé par les quantificateurs et pas par les phrases

qu'est ce que vous pensez du livre de Bernard Tissot est qu'il contient des exercices corriges sur ce type de notions

merci beaucoup pour votre temps

[adamNIDO]

s'il vous plait Nous attendons vos remarques sur la remarque 1.1.3 pouvez vous le rectifier

On note par
est un sous espace vectoriel de ( V variable affine de X)
Donc V est un sous espace vectoriel de car la restriction de l'application :

à minuit d'une structure naturelle d'espace affine, donc on dit que V est un sous espace affine de $X$ de direction
si V est variable affine alors ne dépend pas de
On le note par

[adamNIDO]

Bonsoir,

s'il vous plait monsieur pouvez vous m'explique cette phrase

dans la remarque 1.1.3
ils ont dis est un sous espace vectoriel de (V variete affine ) donc est un sous espace vectoriel de (le vectorialisé de x en point A)

car vous avez dit que :

Le début de la remarque 1.1.3 ne vaut pas dire grand chose : V n'est pas un sous espace vectoriel de X et ceci pour une raison très simple : X n'est pas un espace vectoriel (ou alors, il faut considérer le "vectorialisé de X en un point" et ton V sera ou pas un s.e.v. du vectorialisé en fonction du point de base choisi)