Voici un exo qui va m'aider à mieux comprendre la preuve du th. d'inversion locale.
Soit E un espace de Banach. L'exo se base sur un exemple simple d'une application phi de E dans E, de classe C1 telle que:
Et on prend g: Id + phi
1. Montrer que Phi est lipschitzienne
J'ai dit que E est un espace de Banach, donc un EV normé. Donc pour tout x et y dans (tout ouvert de) E, [x; y] est inclus dans E par la paramétrisation lambdax + (1 - lambda)y.
Donc par les accroissements finis, j'obtiens que Phi lipschitzienne.
2. Je dois montrer que g est une bijection en fixant y dans E et en utilisant le théorème du point fixe en faisant apparaitre une fonction T contractante.
Donc:
y = x + phi(x)... Mais je n'arrive pas à expliciter l'application T...
x = y - phi(x) ...