Exo sur le théorème d'inversion locale

[Kimou]

Bonjour,
j'ai une petite question sur un exercice qu'on a déjà résolu en cours.
J'ai trouvé le même sur internet (ça m'évitera de le recopier): exercice 8 question d)
http://www.math.jussieu.fr/~beck/pdf/td-inversion-locale.pdf

Alors montrer que c'est un difféomorphisme locale n'est pas bien compliqué.
Cependant pour montrer que c'est un difféomorphisme global le prof a procédé d'une manière que je n'arrive pas à comprendre:
On pose f(x,y) = (a,b) (je pense pour montrer l'injectivité comme on se doit de faire..., puis en résolvant le système qui vient il pose (qui est égal à a) bon ok.
Et en fait il fait étude complète de cette nouvelle fonction pour conclure à la fin que est une bijection strictement croissante de sur . Mais pourquoi cela nous dit que f est injective ? Ou plutôt ne pouvions nous pas faire autrement d'une manière plus directe?

Merci d'avance

[arnaud32]

si tu veux inverser une fonction il vaut mieux que ce soit une bijection

[Kimou]

Non mais je veux montrer que f est un difféomorphisme, pourquoi montrer qu'une autre fonction est bijective...

edit:
En fait je viens de comprendre je crois, mais ce que je n'arrive pas à comprendre c'est qu'on démontre cela qu'avec une partie de la fonction non? on pose une fonction qui est égal à a, qui nous dit que pour b c'est de même? c'est une fonction à 2 variables et on fait comme si il y en avait une ça m'a un peu bloqué (ca doit être bête mais bon^^).
Et fait je comprends pas ta remarque parce que si on sait dans un premier temps que la fonction est inversible localement, pour la forme globale, il suffit de prouver l'injectivité normalement..
D'ailleurs il me vient une autre question: si on prouve l'injectivité comment sait on que c'est bien un difféo de dans et non pas dans ?

[arnaud32]

comments ecris tu que f(x,y)=f(x',y') avec ta fonction

[Kimou]

[TEX]\varphi(y)= x' et x + g(varphi(y) - g(x)) = y'[/TEX

[Kimou]

mais je vois pas le rapport avec mes questions

[arnaud32]

moi je trouve plutot et
si tu fixes x' et y' comme est bijective de R sur R
il existe un unique y tel que du coup l valeur de x se trouve elle aussi fixee par l'autre equation et tu as un unique couple (x,y) qui verifie ton equation, or (x',y') verifie cette equation d'ou l'injectivite

[Kimou]

Honnêtement j'ai pas très bien compris les résultats mais j'ai compris je pense l'idée que tu développe (et je t'en remercie).
J'aurais encore une questions du coup:
*si on prouve l'injectivité comment sait on que c'est bien un difféo de dans et non pas dans ?

[Kimou]

Est ce que par hasard, (ici) ... Il faudrait que f soit surjective pour montrer cela or c'est évident car d'après le théorème d'inversion locale en tout point représente un isomorphisme de . Mais ce qui me va pas c'est que dans ce cas ça serait toujours le cas or le théorème stipule de U dans f(U) avec U un ouvert de l'espace de départ(E =) . Peut être est ce parce que ici dim E = dim F= 2 non?
quelqu'un pourrait m'éclairer?
merci

[Kimou]

Personne ?