Premiers chiffres d'une puissance de 2 (L1)

[megido]

Bonjour, dans le cadre d'un projet de recherche imposé dans ma licence je dois résoudre le problème suivant:
«Montrer qu’il existe une puissance de 2 dont l’écriture décimale démarre par au moins 777 chiffres 7. Estimer le nombre de chiffre de cette puissance de 2.»

Ce problème n'a pas de réponse triviale et le but de l'exercice est de faire des recherches en profondeur sur le sujet. J'ai déjà tenté d'explorer plusieurs pistes: je me suis par exemple demandé si pour n'importe quel nombre, il existait une puissance de deux qui commence par les chiffres de ce nombre. Cela me paraît vrai (pourquoi 777 fois le chiffre 7 mais pas n'importe quelle autre séquence de chiffres?) mais il est difficile de le prouver (j'ai tenté une récurrence mais c'est pas si évident).

Je ne demande pas la solution du problème mais j'accepterais volontiers des pistes si vous en avez. Je serais aussi intéressé si vous avez des conseils pour ne pas se perdre dans ce genre de problème très libre.

Merci d'avance.

[anthony_unac]

Salut, il n'y avait pas une correspondance (égalité?) entre un nombre et le nombre de caractères pour l'écrire à base de logarithme ?

[GaBuZoMeu]

Soit l'entier qui s'écrit avec 777 fois le chiffre 7. On te demande donc de montrer qu'il existe des entiers naturels et tels que



En passant aux logarithmes, ça revient à



Le genre de question mathématique classique à laquelle on peut raccrocher ça est l'étude des sous-groupes additifs de .

[tournesol]

Ne te laisse pas intoxiquer par les 7 .
En fait il existe une infinite de puissances de 2 dont l'ecriture decimale commence par une sequence de chiffres arbitrairement choisie . Par exemple , il existe une infinité de puissances de 2 ( et même de 3 ) dont l'ecriture décimale commence par les 100 premieres décimales de pi .

[lyceen95]

2, élevé à n'importe quelle puissance, ça ne donnera jamais une puissance de 10... et la démonstration peut commencer.

Par contre, trouver le plus petit exposant de 2 qui convienne est plus compliqué.