Polynomes ,sous espaces propres

[mehdi-128]

--------------------------------------------------------------------------------

on definit phi(P)=(X^2-1)*P''+(2X+1)*P'
avec P un polynome de Rn[X]

en fait j'ai écris la matrice dans la base canonique (1,X,...,X^n) de l'endomorphisme phi et déterminé les valeurs propres qui sont:
0,2,6,........n^2+n et montré que phi était diagonalisable.

et j'ai montré qu'il existe une unique base de Rn[X] constituée de vecteurs propres (P0,.....,Pn) tel que:
pour tout k : deg(Pk)=k / pk unitaire

MAIS determiner P1,P2,P3 me pose un problème.Je n'ai que P0=1

Merci d'avance de votre aide!!

[fahr451]

tiens j'ai déjà vu ça quelquepart...
P1 est de degré 1 unitaire P1= X+a0 associé à lambda= 1.2= 2
résoudre (A-2I(n+1))Y1=0 avec Y1 la colonne (a0,1,0,...,0) et A la matrice de phi

[mehdi-128]

Oui mais je n'arrive pas à calculer a0 car la 1ere colonne de la matrice est nulle.......

[fahr451]

la matrice n 'est plus A mais A-lambda I(n+1) avec lambda = 2 ici
tu dosi reprendre ton cours pour savoir comment trouver les sous espaces propres

d'une façon générale
f(x) = lambda x ssi (f-lamdaId)(x) = 0 ssi (A-lambdaIn)X = 0 où A est la matrice de f et X la colonne de coordonnées de x

[mehdi-128]

j'obtient P1=1/2+X
mais il faut supposer que si (n^2+n-2)*an=0 implique an=0 mais ceci n'est pas vrai pour n=1?

[fahr451]

ben si n = 1 ,a1 = an = 1 en effet mais tout reste valable

[mehdi-128]

Tous calcules effectués j'obtient :
P0=1
P1=1/2+X
P2=-1/4+1/2*X+X^2
P3=-1/8-1/2*X+1/2*X^2+X^3

or je dois déterminer les coefficiants de X^k-1 et X^k-2 dans Pk coment faire?

[fahr451]

de la même façon ; le système est triangulaire; avec ak = 1 on trouve successivement a(k-1) et a(k-2)

[mehdi-128]

faut -il pas faire une conjecture sur les termes que l'on vient de calculer?
Auquel cas j'ai un problème car ca marche pas pareil pour P2 et P3.........

[fahr451]

je ne sais pas ;tu as explicitement la matrice donc explicitement le système
et tu as explicitement les valeurs de ak-1 et ak-2.

[jam6pc]

salut , c bien l'epruve E.N.S.A.I 1998 mp thème : polynomes orthogonaux _ algèbre linéaire 1 concour bien choisi et bien posé je pourais vs envoyer 1 proposition de solution si vs voulez.....

[jam6pc]

salut , c bien l'epruve E.N.S.A.I 1998 mp thème : polynomes orthogonaux _ algèbre linéaire 1 concour bien choisi et bien posé je pourais vs envoyer 1 proposition de solution si vs voulez.....

[mehdi-128]

Comment montrer que la base (P0,.........,Pn) est une base de R[X].?

J'ai montré : Pk=X^k +(1/2)*X^(k-1) + (1-k)/4 *X^(k-2)+Rk

[fahr451]

des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes forment toujours une famille libre

[rem ici "en plus" la famille est échelonnée en degré]