Polynômes et exponentielle

[Nightmare]

Hello,

pour ceux qui s'ennuient :

Soit et la plus petite racine complexe de en module.

Calculer

:happy3:

[benekire2]

Salut !

C'est faisable avec quels outils ? ( De toute façon, j'ai tellement de mal avec tes énoncés lycée que je compte pas arriver a quoi que ce soit .... )

[Nightmare]

J'y suis arrivé avec des outils de prépa, mais peut être est-ce faisable avec des outils de lycée.

[benekire2]

J'y suis arrivé avec des outils de prépa, mais peut être est-ce faisable avec des outils de lycée.

D'accord, je verrai ce que je peut faire, mais ça m'étonnerais que j'arrive a quelque chose.

[ffpower]

Je dirais que si la suite en question convergeait, alors la limite serait un zero de exp, absurde, et donc la suite n'a pas de limite. Mais ça me semble trop facile, donc ya p-e quelque chose que j'ai pas suivi..

[benekire2]

Ah oui j'oubliais que

Je ne comprenais pas d'où venait le exponentielle du titre...

[Nightmare]

ffpower > C'est l'idée, mais il faudrait qu'il y ait convergence uniforme!

[MacManus]

Bonjour.

Ne peut-on pas utiliser dans ce cas le théorème de Stone-Weierstrass ?

[Nightmare]

Peut être, ça me semble un peu trop puissant.

J'ai utilisé pour seuls théorème celui de Bolzano-Weierstrass et la convergence uniforme d'une série entière sur un disque fermé inclus dans le disque de convergence.

[euler21]

Salut
Si on suppose que ta suite est bornée alors on peut en extraire une suite convergente. Après et comme c'est une suite bornée on peut ramener l'étude à un disque de rayon fini. Là j'ai envie de dire que la limite de la suite serait un zéro éventuel de la fonction limite qui est l'exponentiel mais je ne suis pas sûr que la convergence normale soit suffisante (excuse moi ça fait longtemps que j'ai pas touché le programme de spé)

[Nightmare]

C'est bien l'idée :

On suppose qu'il existe A tel qu'on puisse toujours trouver un terme de rang aussi grand que l'on veut inférieur à A.

Alors on peut extraire une sous-suite contenue dans [0,R] dont on extrait une sous-suite convergente par Bolzano-Weierstrass, dont la valeur d'adhérence appartient au disque fermé centré en 0 de rayon A. Par convergence uniforme sur ce disque de la sous-suite P o i o j (i et j sont les extractrices précédentes), due au fait qu'on ait une somme partielle d'une série entière de rayon de convergence infinie, on conclut que la valeur d'adhérence doit être un zéro de l'exponentielle.