Polynomes ::: Base de Kn[X]

[hqckers]

Soit (a,b)€K² avec K un corps et a et b distincts. montrer que la famille B des
(X-a)^k*(X-b)^n-k k variant de 0 a n est base de Kn[X].

Il n'y a que la liberté a démontrer car Card B= n+1 = dim Kn[X]
je me suis lancé dans de gros calculs n'y a t-il ap plus simple? merci de votre aide

[mathelot]

bonjour,
j'ai un embryon de démonstration. L'idée est de montrer que la partie est génératrice, et donc une base.

Soit P un polynome:
P(X)=P(a)+(X-a)Q(X)
avec deg(Q) < deg(P)
Par hypothèse de récurrence , Q s'exprime comme combinaison linéaire
des
et donc c'est gagné si un polynome constant est combinaison linéaire de cette
famille,
or d'où 1 en divisant par le scalaire , d'où une constante k quelconque.

[hqckers]

oui finalement javais utilisé la méthode de valeur en un point ! mé le pb c ke jlé pa tré bien rédigé ;)