Polynomes et base duale

[nemesis]

bonsoir a vous

je voudrais savoir comment faire cet exercice:

soit E=R1[x] (l'espace des polynomes de degré inf ou egale a 1)
et soit :
f:E=>R
P=>f(P)=
et
g:E=>R
P=>g(P)=

1_montrer que f et g est une base de E*
ca c'est bon j'ai su le faire

2_trouver dans E tel que ) soit la base de E* duale de (f,g)
et la je sais pas comment faire

meci de votre aide.

[Ted]

Je pense que P1,P2 est plutot la base duale de (f,g) dans E.
Sachant ça,
si on cherche une base (P1,P2) de E.
Tout polynome de E s'ecrira P=a*P1 + b*P2 avec a et b dans R.
Alors (P1,P2) est la base duale de (f,g) si on a
f(P)=f(a*P1+b*P2)=a
et
g(p)=b

reste à trouver P1 et P2.
A mon avis, il suffit pour P2 de trouver un polynome dont l'integrale sur [0,1] est nulle . Pour P1 dont l'integrale sur [0,2] est nulle et de bricoler un peu les coefficients.
Ya peut-etre plus élégant...

[nemesis]

est ce que ca marche pour P1=1 et P2=x ?

[Ted]

Non ça ne marche pas.

Pour P1:
f(P1)=1, ce résultat pourrait être interressant!
en fait non puisque g(P1)=2 et que l'on voudrait g(P1)=0!

En fait j'aurais été plus clair en disant qu'il faut chercher P1 verifiant f(P1)=1 et g(P1)=0
et P2 tel que f(P2)=0 et g(P2)=1.

En sachant que ces deux polynomes sont au plus de degré 1, les deux égalités devraient t'aider à trouver les deux coefficients de chaque polynome.

[nuage]

Salut,
je ne crois pas que ta proposition convienne.
Pour compléter ce qu'a dit Ted :
et
On en tire .
Ce qui suffit à déterminer ces polynômes.

[Ted]

Effectivement je n'ai pas été tres clair :hum:

[nemesis]

merci a vous
je vais revoir ca demain ,

[road runner]

bonsoir
aprés une petite recherche sur le forum ,j'ai trouvé cette discussion

pouvez-vous ,svp, me faire une petite synthese de comment proceder pour resoudre cette exercice
meci d'avnce

[serge75]

On reprend depuis le début :
si af+bg=0, alors pour tout polynôme de degré <=1 on a af(P)+bg(P)=0.
En particulier pour P=X-1 j'ai f(P)=0 et g(P) non nul, donc a=0. Je fais de même avec P=1 sachant que déjà a=0 et j'obtiens b=0, donc (f,g) est libre, puis une base pour raison de dimension.

Quelle en est la base antéduale? C'est une base (P1,P2) de R1[X] telle que pour tout P on ait P=f(P)P1+g(P)P2.
Je teste pour P=X-1, j'obtiens X-1=4P2, d'où P2. Reste à tester avec P=1 par exemple et j'obtiens P1. voili voilou