Polynome et sev

[Percolaptor]

Bonsoir,

1)Montrer que Kn[X]={P appartenant à K[X], degP < egale à n} est un sev de K[X]
Je ne comprends pas pourquoi 0 appartient à Kn[X] (deg(0)= - infini < egale à n)

[fahr451]

bonjour dans la définition de Kn[X] c'est deg(P)=< n et non <
mais peu importe
pour 0

comme tu le dis deg(0) =- infini et on a bien -infini =< n avec n naturel donc 0 est bien dans Kn[X]

[Percolaptor]

Ah ok merci bcp !!

J'ai d'autres questions :
1)Dans R[X], calculer A mod B pour A=(X-3)^(2n)+(X-2)^(n) -2 et B=(X-3)(X-2)
Comment procède t-on ?

2)Soit u:Kn[X]->Kn[X],P->XP'-aP
Determiner les valeurs de a pour lesquelles u est bijectif. Pour les autres valeurs, déterminer une fg de Ker(u) et Im(u)

[fahr451]

ex1) on écrit la division euclidienne de A par B

A= BQ+ R avec deg R
on cherche R

on évalue en 2 et 3 puisque B(2) = B(3) = 0 d'où

2a+b = A(2) et 3a+b = A(3) puis a et b

ex2)
u est linéaire
quand a est différent de 0,1,..., n
pour 0=deg(u(X^k) = k
donc l 'image de la base canonique est étagée en degré donc libre et c'est donc une abse de Rn[X] u transforme une abse en une base et est donc bijectif

[Percolaptor]

Merci encore fahr451.

Je continue :
Soient P appartenant à K[X], Q=P+1. Mq PQ | P^(2n)+Q²-1

[fahr451]

P et Q étant premiers entre eux il suffit de montrer que P et Q divisent le polynôme H = P^(2n) + Q^2 -1

Q^2 -1 = P(P+2) divisible par P et P^(2n) aussi donc H aussi


Q divise Q^2 et

P^(2n) = (Q-1) ^(2n) en développant par le binôme on a Q^(2n) +...

termes en Q +1

donc P^(2n) -1 divisible par Q et H aussi