Polynôme minimal mais ... non annulateur !

[Ourfalli]

Bonjour,

Je lis dans le livre de Sheldon Axler : "Linear algebra done right" p.146 https://linear.axler.net/LADR4e.pdf cet exercice sur les polynômes minimaux.

Tout commence par la matrice :


Qui a la particularité suivante :


Je calcule le déterminant de la matrice pour trouver .

Jusqu'à ce point, pas de souci. Clairement, on ne peut pas expliciter les valeurs propres, même si une étude de la fonction montre qu'il existe trois racines réelles. Trouver les vecteurs et valeurs propres en résolvant un système linéaire (à six variables en comptant avec les coordonnées de V) semble être compliqué aussi.

La question est de savoir si ce polynôme est le minimal en explorant la particularité de . Dans le livre, le polynôme minimal est bien . Pourtant, , ce n'est pas un polynôme annulateur.

Autre problème, en lisant le corrigé étant la base canonique (colonnes), on a bien et . Ce que je ne comprends pas, c'est que, quand je calcule, par exemple, , j'ai toujours et non comme attendu.

Est-ce que j'ai manqué un détail ? Pas bien compris le cours ? L'exercice est erroné (ce qui est peu probable) ?
En vous remerciant pour votre indulgence, le sujet m'est nouveau.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Tu t'es visiblement trompé dans ton calcul de .
Reprends-le, et tout s'arrangera pour toi.

[Ourfalli]

Bonjour,

Souvent, ce sont des petites erreurs dissimulées que je n'arrive pas à détecter qui me compliquent la vie !

Quand le calcul n'est pas fait à la main, ça n'aide pas. J'utilise Maxima, et le terme n'est pas une multiplication matricielle, mais une multiplication terme à terme (je pense que ça s'appelle une multiplication de Hadamard). J'ai corrigé la donne et en effet, le résultat est clair.

Je partage ici le procédé algorithmique pour trouver le polynôme minimal en code Maxima (élimination gaussienne).

Attention, c'est un travail d'amateur, donc à optimiser et à vérifier.

Code: Tout sélectionner

/*1-Puissances  de matrices*/
infix ("##")$
"##" (A, n) :=block(
    if (n<1) then return (diagmatrix (length(A),1)) else
        if(n<2) then return(A) else
            return(A."##"(A,n-1)))$
I: diagmatrix (5,1)$
E:makelist(I[k],k,1,length(I))$
V:makelist(v[k],k,1,length(I))$

/*2-Données de l'exercice*/
A: matrix( [0,0,0,0,-3], [1,0,0,0,6], [0,1,0,0,0], [0,0,1,0,0], [0,0,0,1,0])$

cA(x):=x*I-A$   /*Matrice caractéristique*/
C(x):=factor(determinant(cA(x)))$C(x);  /*Polynôme caractérstique*/
wxplot2d(C(x),[x,-1.8,1.6]);    /*La courbe du polynôme caractérstique  (trois racines)*/

/*3-Plynôme matriciel*/
Q(M):=M##5-6*M+3*I;
Q(A); /*Zéro, donc bien annulateur*/

/*Vérifier T^n.e_1*/
for k : 0 thru 4 do print((A##k).transpose(E[1]));

/*4- Construction du système linéaire*/
m:6$
La:[]$
La:makelist(a[k-1], k, 1, m)$

/*5- Système d'équations linéaires*/
P(A,m,La):=sum(La[k]*A##(k-1), k, 1, m);
P(A,m,La);
Larg:args(P(A,m,La))$ /*Transformer la matrice en liste*/

Leq:[]$ /*Eliminer les zéros de la liste*/
for i : 1 thru length(A) do(
    for j : 1 thru length(A) do(
        if not(Larg[i][j] = 0) then Leq:append(Leq,[Larg[i][j]])
        ))$

/*5-Résoudre le système linéaire*/
solve(Leq,La)[1];
/*M < 6 le système est indépendant, solution unique nulle*/
L6:[3,-6,0,0,0,1];
P(A,6,L6); /*On a bien zéro*/

On a à la fin , ce qui est attendu.

Reste à savoir si cette matrice est d'une forme spécifique qui permet d'obtenir directement le polynôme minimal à partir de sa dernière colonne.

Sinon, sujet clos ! Merci bien.

[GaBuZoMeu]

La matrice est la matrice compagnon du polynôme . On peut la voir comme la matrice de la multiplication par (la classe) de dans le quotient , exprimée dans la base de ce quotient.