Polynôme annulateur matrice diagonale

par **Wenneguen** » 14 Nov 2012, 20:45

Bonjour,

je cherche une méthode ( intuitive, pas un théorème ) qui permettrait de déterminer un polynôme annulateur d'une matrice diagonale.

Merci ! :we:

par **bentaarito** » 14 Nov 2012, 21:01

tu sais bien ( par Cayley-Hamilton ) que toute matrice annule son polynôme caractéristique.
La c'est plus simple car t'as directement les valeurs propres, donc il suffit de former le polynôme minimal en élimant les vp de multiplicité supérieure à 1.

par **Wenneguen** » 14 Nov 2012, 21:04

Justement je ne connais rien de tout ça ( Cayley-Hamilton, polynôme caractéristique, valeurs propres... ). Nous n'avons pas encore abordé ces notions en cours et pourtant notre prof nous demande dedéterminer un polynôme annulateur d'une matrice diagonale ( dans l'exercice c'est une matrice 3x3 avec un 2012 en haut à gauche, un 1 au milieu et un 1993 en bas à droite ).

par **bentaarito** » 14 Nov 2012, 21:07

d'accord.

Posons D ta matrice diagonale et je te demande de calculer D-I où I est la matrice identité 3x3

par **Wenneguen** » 14 Nov 2012, 21:56

Ok c'est fait :zen:

par **bentaarito** » 14 Nov 2012, 22:13

t'as fait comment?

par **Wenneguen** » 14 Nov 2012, 22:16

bentaarito a écrit:t'as fait comment?

Euh ben j'ai enlevé 1 à chacun des coefficients de la diagonale... J'ai quelques notions sur les matrices quand même :lol3:

par **kazeriahm** » 14 Nov 2012, 22:21

Hello

tu as une matrice diagonale

calcule

par **bentaarito** » 14 Nov 2012, 22:25

Wenneguen a écrit:Euh ben j'ai enlevé 1 à chacun des coefficients de la diagonale... J'ai quelques notions sur les matrices quand même :lol3:

oui mais tu vois l'idée pour trouver le polynôme?

(kazeriahm t'as donné la réponse d'ailleurs )

par **Wenneguen** » 14 Nov 2012, 22:31

Non je ne vois pas l'idée :/ Comment peut-on prédire que ça va marche en procédant de cette façon ?

par **Judoboy** » 14 Nov 2012, 22:52

Bah sinon t'as ta matrice, tu calcules A² et A^3 et tu mets des coefs devant pour que la somme soit nulle.

par **Wenneguen** » 14 Nov 2012, 22:57

Judoboy a écrit:Bah sinon t'as ta matrice, tu calcules A² et A^3 et tu mets des coefs devant pour que la somme soit nulle.

Désolé je ne vois toujours pas ^^

par **bentaarito** » 14 Nov 2012, 23:05

D-I a un terme nul sur la diagonale
Quid de D-2012*I et D-1993*I ?

par **Wenneguen** » 14 Nov 2012, 23:20

bentaarito a écrit:D-I a un terme nul sur la diagonale
Quid de D-2012*I et D-1993*I ?

Oui ils ont également un terme nul sur la diagonale

par **bentaarito** » 14 Nov 2012, 23:32

Ok.

maintenant comment on calcule le produit de deux matrices diagonales ?

par **Wenneguen** » 14 Nov 2012, 23:35

bentaarito a écrit:Ok.

maintenant comment on calcule le produit de deux matrices diagonales ?

Ah ok on fait le produit terme à terme sur une même ligne, je n'avais jamais remarqué cette propriété :marteau:
Tout s'éclaire, merci ! :lol2:

par **bentaarito** » 14 Nov 2012, 23:38

donc finalement tu prends quoi comme polynôme annulateur ?

par **Wenneguen** » 14 Nov 2012, 23:53

bentaarito a écrit:donc finalement tu prends quoi comme polynôme annulateur ?

P(X)=(X-2012)(X-1)(X-1993) ? :girl2:

par **bentaarito** » 14 Nov 2012, 23:54

ok

tu comprends maintenant la remarque de Judoboy je suppose

par **Wenneguen** » 14 Nov 2012, 23:58

bentaarito a écrit:ok

tu comprends maintenant la remarque de Judoboy je suppose

Voui, merci à tous ! :++:

Polynôme annulateur matrice diagonale

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