Polynôme et divisibilité

[zelda007]

Bonsoir à tous,

Soit n un entier fixé supérieur ou égal à 1, et (a,b) deux réels avec a < b. Pour tout entier p de [|0,n|], on note : Up(X) = [en fait c'est la dérivée p ième du polynôme : (X - a)^n.(X - b)^n]

1) Vérifier que pour tout p de [|0,n-1|], le polynôme Up est divisible par (X - a).(X - b)

2) Montrer que pour tout p de [|0,n|], Up s'annule au moins p fois dans l'intervalle ]a,b[

Voila pour la question 1, ca me parait évident mais pas si sur que ca ! Et pour la question 2 aucune idée...

Merci pour vos futurs aides.

[busard_des_roseaux]

bonsoir,


La question (1) semble fausse pour des raisons toutes simples de degré de polynomes.

La question (2) est le théorème de Rolle généralisé.
Les zéros d'ordre n d'une fonction donnent des zéros d'ordre (n-1) de la dérivée . De plus, entre deux zéros de f ,x et , il y a un zéro de f ' dans l'intervalle ouvert .

Donc f ' a 2(n-1)+1=2n-1 zéros comptés avec ordre de multiplicité, ie,
un zéro de moins que f. Ensuite, récurrer.

[zelda007]

Bonjour,

Désolé pour la question 1, je me suis strompé c'est divisible par (X-a)(X-b).

Et je ne connais pas encore le théorème de Rolle... Donc je ne peux pas l'appliqur. Y'a t-il une autre solution ?