Voici l'énoncé :
Soient
[CENTER]
a) Calculer
[CENTER]
Après calcul, je trouve
[CENTER]
Avec pour justification :
Quelqu'un pourrait m'expliquer comment peut-on arriver à ce résultat ? Merci beaucoup
.Polynôme caractéristique d'une matrice
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Polynôme caractéristique d'une matrice
par Sharpen » 27 Déc 2014, 13:01
Salut à tous, je bloque sur la correction d'un exercice d'oral sur la réduction géométrique.
Voici l'énoncé :
Soient
, tous distincts et  = \det (A + xI_n ))
avec
[CENTER])
[/CENTER]
a) Calculer)
et décomposer en éléments simples la fraction
[CENTER]}}{{\prod\limits_{i = 1}^n {(x - a_i )} }})
[/CENTER]
Après calcul, je trouve=a_i \prod_{i \neq j}^{n}(a_i-a_j))
. Jusque là tout va bien mais lorsque je dois décomposer la fraction, la correction propose :
[CENTER]}}{{\prod\limits_{i = 1}^n {(x - a_i )} }}=1+\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{x-a_i})
[/CENTER]
Avec pour justification :
est unitaire et de degré n.
Quelqu'un pourrait m'expliquer comment peut-on arriver à ce résultat ? Merci beaucoup .
Voici l'énoncé :
Soient
[CENTER]
a) Calculer
[CENTER]
Après calcul, je trouve
[CENTER]
Avec pour justification :
Quelqu'un pourrait m'expliquer comment peut-on arriver à ce résultat ? Merci beaucoup
.par Joker62 » 27 Déc 2014, 13:17
Hello,
Comme P est de degré n, le numérateur et le dénominateur (Q) ont même degré et donc le quotient de la division Euclidienne de P par Q est le coefficient de
de P, c'est à dire 1.
Donc on a :}{\prod_{i=1}^n (x-a_i)} = 1 + \sum_{i=1}^n \dfrac{\lambda_i}{x-a_i})
Pour trouver
, on multiplie tout par )
et on prend 
.
AinsiP(x)}{\prod_{i=1}^n (x-a_i)}_{|x=a_i} = a_i)
(D'après tes calculs) et c'est terminé.
Comme P est de degré n, le numérateur et le dénominateur (Q) ont même degré et donc le quotient de la division Euclidienne de P par Q est le coefficient de
Donc on a :
Pour trouver
Ainsi
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