Polynôme caractéristique d'une matrice compagnon

[wartenberg]

Bonjour,

Je cherche à montrer que le polynôme caractéristique de la matrice , matrice compagnon du polynôme , est .

J'ai lu une solution utilisant une combinaison linéaire astucieuse sur les lignes (et transformant donc la première ligne de la matrice en ), mais il est également indiqué dans plusieurs sources que cela peut se faire par récurrence "immédiate", en développant par rapport à la première colonne...
Sauf que, pour moi, cette récurrence est tout sauf immédiate...
J'ai essayé dans les cas et , mais je ne vois pas du tout comment généraliser cela...

Merci d'avance pour votre aide

[LB2]

Si tu développes le déterminant de la matrice XI_n-A (que tu devrais noter A_n) par rapport à la première colonne, quelle équation obtiens tu ?

[GaBuZoMeu]

La recette est de développer par rapport à la 1e colonne.
Tu obtiens X fois truc - 1 fois machin. Identifie truc et machin, et tu verras comment marche la récurrence.

[wartenberg]

Merci pour vos réponses.
Effectivement, en y repensant, ce n'était pas si dur.
Mon erreur était de vouloir à tout prix exprimer en fonction de (i.e. avec des coefficients variant de à ), et de vouloir appliquer l'hypothèse de récurrence "directement" à .