Matrices compagnon

[L.A.]

Bonjour à tous,

Soit d un entier, X un vecteur colonne de taille d et C une matrice de taille dxd (le tout à coefficients dans un corps K). On regarde les vecteurs colonnes X_k = (C^k).X et on forme la matrice

M = [X_0,X_1,...,X_(d-1)]

Y a-t-il moyen d'exprimer le déterminant de M de manière simple ?
Et si C est une matrice compagnon ? (des 1 sous la diagonale dans les d-1 premières colonnes et une dernière colonne quelconque)

Merci de votre attention :zen:

[wserdx]

Oui, le déterminant est nul, ce qui est assez simple :lol3:
Les vecteurs colonnes satisfont une relation linéaire que tu pourras facilement déduire du polynôme minimal de la matrice.

[BiancoAngelo]

Oui, le déterminant est nul, ce qui est assez simple :lol3:
Les vecteurs colonnes satisfont une relation linéaire que tu pourras facilement déduire du polynôme minimal de la matrice.

Salut, hmpfff, je n'suis pas convaincu.

Tu prends . Soit par exemple, Alors de déterminant non nul.

Bon, ok pour d plus grand que 1... :

Tu prends et

On a alors de déterminant non nul...

J'avais pris en plus ces données au hasard :zen:

[wserdx]

Oups, désolé, j'ai été en effet un peu vite. Le déterminant est nul si le polynôme minimal est de degré plus petit que d!
Bon je réfléchis deux minutes de plus!