Points critiques

[pizzouille]

bonjour,

f(x,y)=x^4+y^4-(x-y)²

en dérivant et en développant j'arrive à
x^3+y^3=0
2y^3+x-y=0

et je suis bloquée

Merci d'avance de votre

[pizzouille]

y^3=-x^3 donne y=-x
d'ou y*(y²-1)=0 y=0 ou y=1 ou y=-1
si y=0 x=0
y=1 x=-1
et y=-1 x=1???

[Ben314]

Ben, ça parrait tout bon...

[pizzouille]

après on me demande de les étudier, comment dois-je, avec quelle méthode?????

[Ben314]

Je pense que ton cours doit contient un petit théorème concernant l'étude des points critiques...
On commence par écrire la "matrice Hessienne" de la fonction en ces points (i.e. la matrice des 4 dérivées secondes) et on regarde si elle est définie positive ou définie négative...
Dans le cas de la dim 2, tu as peut être même vu comment déterminer dans quel cas on est à l'aide de la trace et du déterminant de cette matrice...

[pizzouille]

dans le cours on n'a pas vue cette méthode, il a fait avec la forme quadratique

[Ben314]

dans le cours on n'a pas vue cette méthode, il a fait avec la forme quadratique

Cherche pas, c'est exactement la même chose : la fameuse "matrice Hessienne" est en fait la matrice associée à la forme quadratique...
C'est une des raison pour lesquelles je t'incite à regarder ton cours : je préfèrerais que tu suive les mêmes notations que celle de ton cours plutôt que des nouvelles qui risquent de t'embrouiller.

De toute façon, au niveau calculs, il faut que tu évalue les 4 dérivées partielles de f, puis, l'un aprés l'autre, que tu regarde ce que cela donne en chacun des trois points critiques (0,0) puis (1,-1) puis (-1,1).

[pizzouille]

le les ai déjà calculé je trouve
dérivée seconde f / dérivée seconde x=12x²-2
dérivée seconde f / dérivée seconde y=12y²-2
dérivée seconde f / dérivée x*dérivée y=dérivée seconde f / dérivée y*dérivée x
=0

[Ben314]

Tu t'est gourré sur la troisième : d²f/dxdy = 2
Ensuite commence par exemple avec le point x=0, y=0.
Dans ce cas, tu as d²f/dx²=-2 ; d²f/dy²=-2 ; d²f/dxdy=2.
Est-ce que tu sait écrire la forme quadratique ? (regarde ton cours)
puis déterminer si elle est positive ou négative ? (méthode de réduction de Gauss)

[pizzouille]

je ne vois pas mon erreur pour d²f/dxdy = 2 je ne l'ai certainement pas calculer comme il faut et je ne vois donc pas comment faire :§

[pizzouille]

Q(X,Y)=(d²f/dx²) (a,b)*X²+2*d²f/dxdy(a,b)*X*Y+d²f/dxy²(a,b)*x

[pizzouille]

en (0,0) je trouve Q(X,Y)=-2X²+4XY-2Y²
j'ai a différent de 0 je calcul le delta j'obtiens 0

le problème étant que dans le cours :
lorsque a différent de 0
si delta < 0 implique que Q a le signe de a
si delta > 0 implique que Q a le signe de -a

lorsque a=0
si delta = 0 on ne peut rien dire
si a=0=c Q(X,Y)=bXY
si b=0 on ne peut rien dire
si b différent de 0
Q(1,1)=b a le signe de b
Q(1,-1)=-b a le signe de -b

[Ben314]

je ne vois pas mon erreur pour d²f/dxdy = 2 je ne l'ai certainement pas calculer comme il faut et je ne vois donc pas comment faire :§

f(x,y) = x^4+y^4-(x-y)² = x^4+y^4-x²+2xy-y² (je préfère développer avant de dériver)
df/dx = 4x^3-2x+2y en dérivant en x
d²f/dxdy = 2 en redérivant mais en y cette fois

[pizzouille]

c'est en fonction de y??

[Ben314]

en (0,0) je trouve Q(X,Y)=-2X²+4XY-2Y²
j'ai a différent de 0 je calcul le delta j'obtiens 0

Effectivement, ici, on ne peut rien dire avec cette méthode...

A la rigueur, on peut regarder "à la main", c'est à dire sans utiliser de théorème (mais je ne suis pas sûr qu'on te le demande) :

En (0,0) la fonction f(x,y)=x^4+y^4-(x-y)² vaut f(0,0)=0.
On se demande si c'est un maximum ou un minimum local, c'est à dire si f(x,y) reste supérieur [ou bien reste inférieur] à f(0,0)=0 lorsque x et y sont proche de 0.
Si on prend par exemple y=x, on a f(x,x)=2x^4 qui est supérieur à f(0,0)=0 pour tout x, donc évidement pour x proche de 0.
Si on prend par exemple y=-x, on a f(x,-x)=2x^4-(2x)²=2x²(x²-2) qui est inférieur à f(0,0)=0 quand x est petit [x²>0 mais x²-2<0]
Cela prouve que (0,0) n'est ni un maximum local, ni un minimum local.

Essaye les deux autres points, ça sera sans doute plus "classique".

[Ben314]

c'est en fonction de y??

qui est en fonction de y ???
Dans la première dérivation, on dérive "en x" donc y joue le rôle d'une constante et la dérivée (en x) de 2xy est 2y (la dérivée en x de ax avec a constant est a] ensuite, la dérivée en y de 2y est 2.

[pizzouille]

d²f/dxdy = 2 ?
en sachant que d²f/dx²=12x^2-2

dans les questions précédentes :
on me demandait de montrer que 0 est un minimum local de f(x,x)
donc de 2x^4 quand je fais un tableau de variation à partir de celui ci on constate que c'est vrai
puis on me demandait de montrer que 0 est un maximum local de f(x,0) et en faisant le tableau de variation on constante en regardant à droite et à gauche de 0 que c'est vrai
puis on nous demande d'en déduire que f n'a ni un maximum local ni un minimum local et pour cela en f(0,0)=0 donc c'est vrai

si c'est bon bien?

[Ben314]

d²f/dxdy = 2 ?
en sachant que d²f/dx²=12x^2-2

Le d²f/dxdy, tu le calcule à partir de df/dx ou bien de df/dy, mais il n'a en général absolument rien à voir avec d²f/dx² ni avec d²f/dy²...

dans les questions précédentes :
on me demandait de montrer que 0 est un minimum local de f(x,x)
donc de 2x^4 quand je fais un tableau de variation à partir de celui ci on constate que c'est vrai
puis on me demandait de montrer que 0 est un maximum local de f(x,0) et en faisant le tableau de variation on constante en regardant à droite et à gauche de 0 que c'est vrai
puis on nous demande d'en déduire que f n'a ni un maximum local ni un minimum local et pour cela en f(0,0)=0 donc c'est vrai

si c'est bon bien?

Impeccable. (il me semblait que, sans indications, c'était pas super façile de voir que (0,0) n'est ni max local, ni min local...)

[pizzouille]

pour A(1,-1) je trouve delta<0 donc Q a le signe de a a>0 donc elle admet un minimum local?

[pizzouille]

par symétrie B(-1,1) admet un minimum local?