Points critiques/stationnaires

[ck97]

Bonsoir,
Je n’arrive pas vraiment à comprendre la différence entre un point critique et un point stationnaire !
Les deux servent bien à rechercher des extremums ?
Par exemple j’ai une fonction :
f(x,y)=x^2+4y^2+2x-4y
Je souhaite trouver les extremums et en étudier leurs natures.
Je calcule les dérivées partielles :
df/dx = 2x+2 et df/dy=8y-4
Puis je résous df/dx=0 et df/dy=0 ?
Ce qui me ferait le point (-1,1/2) qui est un point stationnaire ou critique ?
Ensuite je calcule les dérivées secondes et après ?
Quand est ce que je m’en sers de mon point ?
Merci.

[ck97]

Je me réponds rapidement ^^
Après avoir trouvé mon « point critique ? »
Je calcule les dérivées secondes puis je trouve ma matrice hessienne. Je calcule son déterminant et je trouve 16 qui est positif on a donc un extremum puis je remarque que les dérivées sont secondes sont positives donc il s’agit d’un minimum ? C’est ça ?
Par contre je ne sais pas si j’ai employé le bon terme en parlant de « point critique » ? Et la différence avec un point stationnaire ?

[Black Jack]

Salut,

Pas besoin de canon pour tuer une mouche
Dans ce cas particulier, nul besoin de dérivées et de matrice hessienne ... juste ouvrir les yeux.

f(x,y)=x^2+4y^2+2x-4y

f(x,y) = (x+1)² - 1 + 4(y-1/2)² - 1

f(x,y) = (x+1)² + 4(y-1/2)² - 2

Comme (x+1)² >= 0 et 4(y-1/2)² >= 0 (comme carrés), alors :

f(x,y) sera minimum au point de coordonnées (-1 ; 1/2) et ce minimum vaut -2

[ck97]

Merci pour ta réponse !
En effet c’est bien plus rapide :’)
Cependant dans mon exercice, je dois respecter certaines étapes qui m’obligent à passer par le biais de dérivées et d’une matrice hessienne...

[Black Jack]

Oui, c'est l'enseignement actuel qui veut cela.

Imposer des "méthodes universelles" même lorsqu'un chemin de traverse conduit directement à la solution.

On préfère former des robots (c'est bien plus facile) que de développer l'esprit d'observation et le "feeling".

On risque fort dans un futur proche, d'avoir une majorité d'ingénieurs sans esprit créatif.

[pascal16]

faisons dans le visuel :
df/dx = 2x+2
df/dx=0
-> te dis, que dans la direction de l'axe x, tu as un truc bizarre
rajoutons :
df/dx=0 et que df/dx ne change pas de signe, tu n'a pas d'extremum suivant l'axe x (cf x^3 en x=0)
df/dx=0 et que df/dx change de signe dans le sens + - : c'est un maximum suivant l'axe x (cf -x² en x=0)
df/dx=0 et que df/dx change de signe dans le sens - + : c'est un minimum suivant l'axe x (cf x² en x=0)

Pour avoir un extremum, il faut qu'il soit un max ou un min pour chaque axe, donc :
pour un minimum : que chaque dérivée partielle s'annule et change de signe dans le sens - +
pour un maximum : que chaque dérivée partielle s'annule et change de signe dans le sens + -
(on sent là dessous caché le signe des vap)
les conditions ne sont pas suffisantes.
Dans un axe "x+y", il se peut que se ne soit pas un extremum.
La matrice hessienne permet de tester tout ça d'un coup, et se généralise à n dimensions.