Point fixe

par **MacManus** » 24 Mai 2008, 12:50

Bonjour,

On considère

une isométrie affine de

telle qu'il existe

tel que

ait un point fixe.

1. Montrer qu'alors

a un point fixe.
:!:

On me demande d'utiliser la classification des isométries

ça vaut dire que je dois différencier les isométries qui ont un point fixe ou non, celles étant indirectes ou non...? Je ne sais pas très bien par où commencer.

2.Ensuite on se place dans

avec les mêmes conditions.

2.1 Montrer que l'ensemble {

} est (globalement) stable par f.

stable : l'ensemble en question (inclu dans

) est stable si l'image de celui-ci par l'application f est incluse dans cet ensemble ...
c'est correct ?? je ne comprends pas bien le "globalement".

2.2 En déduire que f a un point fixe.

Merci beaucoup de bien vouloir m'aider!

par **Maxmau** » 24 Mai 2008, 17:18

Bj

1/ Les isométries positives de R^3 sont les vissages.
Si f est un vissage de vecteur non nul, nature de f^(n) ? , f^(n) peut-il avoir un point fixe ?
2/ Je suppose que A est le point fixe de f^(n) . Lensemble en question est transformé en lui-même par f. Comment léquibarycentre des points de cet ensemble est-il transformé par f ?

par **MacManus** » 25 Mai 2008, 13:19

Bonjour

Maxmau a écrit:1/ Les isométries positives de R^3 sont les vissages.
Si f est un vissage de vecteur non nul, nature de f^(n) ? , f^(n) peut-il avoir un point fixe ?

Si f est un vissage, alors c'est la composée d'une rotation et d'une translation de vecteur non nul dans la direction de l'axe (ou l'ordre inverse). Donc si l'on suppose que f est un vissage, il n'y a pas de points fixes.
f^(n) est-il aussi un vissage ? f^(n) n'aurait pas de points fixes non plus!
f n'aurait pas de points fixes ? Je ne comprends pas bien le sens de la question où il faut montrer que f a bien un point fixe.

Merci pour votre aide.

par **Joker62** » 25 Mai 2008, 14:03

http://fr.wikipedia.org/wiki/Isom%C3%A9trie_affine

Alors :
si f^n = fofo...of a un unique point fixe, c'est une rotation
si f^n = fofo...of a deux points fixes, c'est une réflexion
si f^n = fofo...of a trois points fixes non aligné, alors c'est l'identité...

Etudie donc chaque cas pour arriver à la conclusion que f possède aussi un ou plusieurs point fixe.

par **ffpower** » 25 Mai 2008, 14:59

C est la caracterisation des isometries du plan que tu as donné la..c est ca qu il faut faire,mais dans l espace(et plutot raisonner sur f que sur f^n aussi)

par **Maxmau** » 25 Mai 2008, 15:09

MacManus a écrit:Bonjour

Si f est un vissage, alors c'est la composée d'une rotation et d'une translation de vecteur non nul dans la direction de l'axe (ou l'ordre inverse). Donc si l'on suppose que f est un vissage, il n'y a pas de points fixes.
f^(n) est-il aussi un vissage ? f^(n) n'aurait pas de points fixes non plus!
f n'aurait pas de points fixes ? Je ne comprends pas bien le sens de la question où il faut montrer que f a bien un point fixe.

Merci pour votre aide.

Soit f une isométrie positive.
Si f est un vissage de vecteur non nul (la translation de vecteur non nul est un cas particulier) alors f^(n) est aussi un vissage de vecteur non nul donc f^(n) n'a pas de point fixe. Conclusion: si f est une isométrie positive
tq f^(n) admet un point fixe alors f est nécessairemet une rotation (vissage de vecteur nul).

raisonnement analogue lorsque f est négative.

par **MacManus** » 25 Mai 2008, 18:12

moui il me semblait que Joker62 faisait référence aux isométries du plan effectivement...en tout cas je vous remercie pour vos réponses. Merci Maxmau j'ai bien compris ton explication, je suis d'accord. Juste une précision svp : ce que vous appelez isométries positives ou négatives, il s'agit en fait des déplacements ou antidéplacements (si les angles orientés sont conservés ou pas, c'est bien ça? je suppose qu'on peut le voir sur les matrices de la partie linéaire d'une application affine en calculant le déterminant par exemple ?)
Merci beaucoup

par **Maxmau** » 25 Mai 2008, 18:25

MacManus a écrit:moui il me semblait que Joker62 faisait référence aux isométries du plan effectivement...en tout cas je vous remercie pour vos réponses. Merci Maxmau j'ai bien compris ton explication, je suis d'accord. Juste une précision svp : ce que vous appelez isométries positives ou négatives, il s'agit en fait des déplacements ou antidéplacements (si les angles orientés sont conservés ou pas, c'est bien ça? je suppose qu'on peut le voir sur les matrices de la partie linéaire d'une application affine en calculant le déterminant par exemple ?)
Merci beaucoup

Ok . Tout cela est exact

par **Joker62** » 25 Mai 2008, 18:26

Sorry j'ai pas fait attention à l'article donné :$

par **MacManus** » 25 Mai 2008, 18:29

Eh bien merci à vous je vais méditer sur le reste :jap:

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