J'ai un petit problème sur un exercice dont je ne comprends pas le corrigé :
On a (a,b) un couple de réels tels que ax (supérieur ou égal)}. On montre que E admet une borne supérieur c et que f(c)=c.
Pour prouver l'existence de c on dit que E est une partie non vide et majorée de R. OK.
Ensuite, on cherche à montrer que f(c)=c.
(NB : toutes les inégalités sont non strictes, désolé je ne sais pas faire apparaître les différents caractères).
On prend x dans E, on a x<f(x) et x<c. La fonction f étant croissante, x<c implique f(x)<f(c). On obtient alors x<f(x) et f(x)<f(c), d'où par transitivité :
x<f(c) (1).
A ce moment là, dans le corrigé il est écrit : "Par ailleurs, l'inégalité (1) et la croissance de f impliquent: f(c)<f(f(c)), ce qui signifie que f(c) appartient à E et par conséquent, c étant un majorant de E, f(c)<c (2).
Finalement (1) et (2) entraînent que f(c)=c."
Je ne comprends pas bien d'où cela sort, puisque (1) et (2) donnent : x<f(c)<c... et non c<f(c)<c (ce qui justifierait le résultat).
Je ne comprends même pas comment on obtient f(c)<f(f(c)), puisque l'inégalité (1) donne juste f(x)<f(f(c))...
J'espère avoir été assez clair dans mes explications.
Merci beaucoup de votre aide !
(j'ai passé du temps sur cet exo alors je suis très frustré de ne même pas comprendre le corrigé !
)