Fonction croissante et point fixe

[Abilys38]

Bonjour,

Voici un énoncé et la solution. Je viens vers vous car j'ai du mal à comprendre la démonstration.

Soit f : [0, 1] → [0, 1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fixe.


Solution

{x ∈ [0, 1] /f (x) >= x} est non vide (0 y appartient) et est majoré (par 1).
On peut donc poser α = sup{x ∈ [0,1]/f(x) >=x}.
Pour tout x > α, on a f(x) < x donc f(α) <= f(x) < x.
Puisque f(α) <= x pour tout x > α, on a aussi f(α) <= α. *
Pour tout x < α, il existe t ∈ ]x,α] tel que f(t)>= t donc f(α) >= f(t) >= t >=x. Puisque ceci vaut pour tout x < α, on a aussi f(α)>= α.
Finalement f(α) = α.

* Première assertion que je comprend pas
Je comprend le raisonnement de d'abord montrer inférieur ou égal, puis supérieur ou égal. C'est les arguments qui permettent d'affirmer cela qui me semblent insuffisants (même si je me doute que j'ai tord et que quelque chose m'échappe.)

Merci de votre aide.

[Razes]

Bonsoir,
Effectivement, c'est un peu long à digérer, mais pour te faciliter la compréhension, commence par tracer ton repère ainsi que les intervalles [0,1] pour les x et [0,1] pour les y.

Prends deux valeurs f(0) et f(1) et essais de les relier par une courbe, tu pourras constater qu'à un moment cette courbe coupe la droite y=x (bien entendu elle peut le couper à plusieurs reprises en restant croissante, donc elle aura dans ce cas plusieurs points fixes).

On commence par {x ∈ [0, 1] /f (x) >= x} car on notre se trouve au départ au dessus de la droite y=x car f(0)>0 (sauf pour le cas f(0)=0 dans ce cas 0 est point fixe) et on cerce quand notre courbe passe de l'autre cote de la droite y=x.

J'espère que cela peut t'aider.

[Abilys38]

Bonjour,

En fait, toute cette partie la, je la comprend. C'est d'ailleurs la partie que j'avais réussi sans le corrige. J'avais également fais une "démonstration" graphique. C'est à partir du moment où le corrige utilise le a, avec les implications, que ca se complique. Notamment le passage où j'ai mis un *

Merci

[Robot]

On veut montrer .
Si , c'est trivialement vrai.
Supposons . Alors pour tout on a , et donc .
Autrement dit (en posant ) pour tout tel que , on a .
Ceci entraîne .

[Abilys38]

Ok merci robot.
La dernière implication n'est toujours pas hyper logique dans mon esprit puisque e est strictement supérieur à 0. Mais je pense pas qu'on puisse m'expliquer mieux que ce que tu viens de faire. Je vais y réfléchir encore et encore jusqu'à ce que ca vienne

[Robot]

Si est plus petit que tout , ça ne te semble pas hyper-logique d'en déduire qu'il est négatif ou nul ?

[aymanemaysae]

Bonjour,

si vous avez un peu de temps, je vous invite à lire cette page sans oublier celle-ci qui contient les propositions auxquelles on a fait allusion dans la première : j'espère que M. Bernard.Ycart n'a ménagé aucun effort pour répondre à toutes vos questions.

[Abilys38]

Ok merci pour vos remarques !!

[Robot]

Avec plaisir.