Point fixe commun

[ffpower]

Ce n'est pas vraiment un exercice cette fois^^( dans le sens ou j'ai pas la soluce). Donc voilà une question qui m'a trotté dans la tête toute la soirée: si f,g sont 2 fonctions continues de [0,1] dans [0,1] qui commutent, est ce qu'elles ont un point fixe commun? J'ai bien envie de dire que la réponse est non, mais à force de créer des contrexemples qui marchent pas, je commence à douter :hum:

[Nightmare]

Hello,

la réponse est non de mémoire et le contre exemple peu évident... Je vais essayer de chercher ça sur le net.

[romlove]

Je pense également que la réponse est négative. La propriété est en tout cas vérifiée si l'ensemble des points fixes d'une des deux fonctions est un intervalle. Il faut donc éviter ce genre de fonctions pour trouver un contre exemple ce qui inclut également les fonctions n'ayant qu'un unique point fixe. Aussi on peut montrer qu'il existe c dans [0,1] qui vérifie g(c)=f(c), il est donc commode de vérifier en premier lieu si on cherche un contre exemple que ce ou "ces" points c ne sont pas des points fixes communs. Je vais essayer de trouver un contre exemple explicite avec ces remarques.

[ffpower]

Une autre remarque aussi, c'est qu'aucune des fonctions ne doivent etre croissantes..si par ex f est croissante, on prend un point fixe x de g, et on applique les itérées de f à x : on obtient une suite de points fixes de g qui converge vers un point fixe de f..

[Ben314]

Bon, ça fait un moment que je gratte en partant de la seule fonction que je connais dont les ittérés sont "bizares" MAIS exprimables, c'est à dire de f(x)=4x(1-x).
Il y a deux points fixes 0 et 3/4 et il faut que g les échange.
Ensuite, si on prend les antécédents, les antécédents des antécédent, etc de 0 et 3/4 par f, c'est dense dans [0,1] et à chaque fois, qu'on connait g(x)=y et un antécédent x' de x par f, on doit avoir f(g(x'))=y, ce qui donne DEUX choix pour g(x').
Question : avec tout ce bor..., y-a-t-il moyen de construire une fonction g continue ?
ou bien toutes les fonctions continues qui commuttent avec cette fonction f ont-elles forcément 0 ou 3/4 comme point fixe ?

Rappel : pour les itérés de f, on a qui les donne de façon simple...

[yos]

Une autre remarque aussi, c'est qu'aucune des fonctions ne doivent etre croissantes.

Ni décroissante bien entendu.

[Nightmare]

Hello,

bon j'ai abandonné la recherche de contre exemple. J'ai pu lire qu'il en avait été trouvé un dans les années 60-70, donc tout récent, et je suppose qu'il doit être assez imbuvable, au point que je ne le trouve nulle part sur internet.