Point adhérent et limite supérieure

par **cyril3** » 14 Oct 2007, 16:23

bonjour,
alors voila jdois résoudre un exercice et je ne vois pas trop comment commencer...

"Soit (xn) une suite bornée et désignons par E l'ensemble de ses points adhérents. Montrer que sup(E)=lim sup (xn) "

merci d avance

par **ThSQ** » 14 Oct 2007, 17:13

points adhérents = valeurs d'adhérence (de la suite) ??

par **cyril3** » 14 Oct 2007, 18:51

oui oui on dit que x est un point adhérent de la suite ssi on peut extraire une sous suite de (xn) qui converge vers x

par **mbodji** » 14 Oct 2007, 18:57

puisque xn est bornée, il existe une sous suite de xn qui converge vers x appartenant à E d'apres bolzano-weirstrass, c'est une piste

par **SimonB** » 14 Oct 2007, 18:58

Ecrit comme ça, je pense que c'est faux (un exemple au hasard : je prends

si n est plus grand que 1. Le sup de E, c'est 0, et la limite du sup des

, c'est 100...

par **busard_des_roseaux** » 14 Oct 2007, 19:04

bjr,

a)

est un point adhérent.
donc

.

b)

, il n'y a qu'un nombre fini de termes de la suite

donc:

,

n'est pas un point adhérent.
donc

d'où

par **SimonB** » 14 Oct 2007, 19:11

Oups, on parlait ici de la limite supérieure. Désolé, je connais très mal ce terme.

par **bruce.ml** » 14 Oct 2007, 19:13

SimonB a écrit:Ecrit comme ça, je pense que c'est faux (un exemple au hasard : je prends si n est plus grand que 1. Le sup de E, c'est 0, et la limite du sup des , c'est 100...

non simonB. Quand on parle de limite des sups, ce sont les sups d'après, on ne compte pas les valeurs d'avant :

par **barbu23** » 14 Oct 2007, 19:23

L'ensemble des points adherents à une suite

s'écrit comme ça :

si l'ensemble dans lequel est inclus la suite

, est compact.
Cette piste peut ,peut etre vous aider !!

par **cyril3** » 14 Oct 2007, 19:30

dsl mais je bloque deja sur un premier point :
qu'est ce qui nous dit que lim sup (xn) est lui même un point adhérent?
Enfin je le conçois bien mais comment le montrer?

merci

par **barbu23** » 14 Oct 2007, 19:46

Attend, j'ai la demonstration de ton exo en pdf sur mon "pc" , mais je sais pas comment le faire coller ici !! Est ce que vous savez comment !!? j'ai pas envie d'écrire tout le paragraphe ici :king: , c'est un peu long !!!!

par **barbu23** » 14 Oct 2007, 19:47

pas, trop long, mais bon ... !!
C'est sur la page

!!
Dites moi comment faire ?!

par **legeniedesalpages** » 14 Oct 2007, 20:24

On note

, et pour tout entier n,

.

On a

,

quelque soit n.

Pour tout n,

est non vide et bornée, donc admet une borne supérieure

. On a

.

,
donc

car E est fermé borné.

Remarquons que

Point adhérent et limite supérieure

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