Espace T1, point limite <=> point d'accumulation

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chombier
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Espace T1, point limite <=> point d'accumulation

par chombier » 21 Déc 2019, 19:54

Bonjour à tous,

Résumé : je me base sur l'article suivant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Point_adh%C3%A9rent.
Je veux prouver une propriété affirmée dans l'article : dans un espace T_1, tout point limite est un point d'accumulation. (La réciproque est toujours vraie)

Soit un espace topologique et un sous ensemble de .

Définition : est un point limite de A si

Définition : est un point d'accumulation de A si

Définition : (X, T) est T_1 si

Soit donc A un sous ensemble de X et x un point limite de A.
Soit V un voisinage de x. Je veux prouver que .
V est un voisinage de x et x un point limite de A donc

Je veux montrer que . Je n'ai que ces informations là :


est T_1.

Avez-vous des pistes, et déjà est-ce que j'ai bien cerné le problème ?
D'avance, merci !



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Re: Espace T1, point limite <=> point d'accumulation

par GaBuZoMeu » 21 Déc 2019, 23:03

Tu as un voisinage de et tu trouves différent de dans . Maintenant la propriété te permet de trouver un nouveau voisinage de , contenu dans et ne contenant pas . Je te laisse vérifier et continuer.

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Re: Espace T1, point limite <=> point d'accumulation

par chombier » 22 Déc 2019, 12:08

donc d'après la propriété ,
O et V sont des voisinages de x donc est un voisinage de x ne contenant pas y.

V' est un voisinage de x et x est un point limite de A donc

donc d'après la propriété ,
O et V' sont des voisinages de x donc est un voisinage de x ne contenant pas y.

On construit ainsi une suite y, y', y''... d'éléments de distincts deux à deux, ce qui montre que est infini.

Il y a pas mal de trous (et d'ellises) dans cette preuve mais elle semble tenir debout.
J'essaierais quand même d'être plus précis, les preuves où on construit une suite par récurrence sont toujours difficiles à rédiger. Il doit toujours y avoir un "on suppose V_1, ..., V_n construits et vérifiant ... ; on construit alors V_{n+1} ainsi : ...".

J'avais aussi penser à raisonner par l'absurde (imaginer que et utiliser une propriété des espaces pour arriver à une contradiction : .
Modifié en dernier par chombier le 22 Déc 2019, 12:30, modifié 4 fois.

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Re: Espace T1, point limite <=> point d'accumulation

par GaBuZoMeu » 22 Déc 2019, 12:28

Les deux raisonnements sont possibles.

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Re: Espace T1, point limite <=> point d'accumulation

par chombier » 22 Déc 2019, 14:00

Mon idée ne fonctionne pas, rien ne permet d'affirmer que .

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Re: Espace T1, point limite <=> point d'accumulation

par GaBuZoMeu » 22 Déc 2019, 16:09

J'ai l'impression que tu t'y prends de travers.
Suppose qu'il existe un voisinage de qui ne contient qu'un nombre fini de points de différents de . En utilisant la propriété , construis un nouveau voisinage de , contenu dans et ne contenant aucun point de différent de .

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Re: Espace T1, point limite <=> point d'accumulation

par chombier » 22 Déc 2019, 16:59

GaBuZoMeu a écrit:J'ai l'impression que tu t'y prends de travers.
Suppose qu'il existe un voisinage de qui ne contient qu'un nombre fini de points de différents de . En utilisant la propriété , construis un nouveau voisinage de , contenu dans et ne contenant aucun point de différent de .

Je pense vraiment que la démonstration par l'absurde ne fonctionne pas :

Je suppose par l'absurde que est non vide, je veux arriver à une contradiction.
Je sais qu'il existe un y dans tel que y<>x, mais rien ne me permet d'affirmer que les autres points de sont différents de x. Je dois vraiment construire la suite y_1, ..., y_n.

Mais j'y suis presque.

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Re: Espace T1, point limite <=> point d'accumulation

par chombier » 22 Déc 2019, 17:27

Voici la construction : Soit un voisinage de . Je veux prouver que est infini. Pour cela je construit deux suites :
, une suite décroissante de voisinages de x
, une suite d'éléments de distincts deux à deux.
Qui vérifient que, pour tout entier naturel n,
Je pose .
et x est un point limite de A donc

est et donc
On pose . Ainsi,
donc
est l'intersection de deux voisinages de x donc
et x est un point limite de A donc

et étant construits, avec et ,
on construit ainsi et :

est et donc
On pose . Ainsi,
donc
est l'intersection de deux voisinages de x donc
et x est un point limite de A donc

Avec ces informations, on peut montrer que est un ensemble de cardinal contenu dans , et donc que le cardinal de est supérieur ou égal à pour tout entier naturel n, ce qui prouve que est infini.

Je pourrais montrer formellement cette affirmation mais j'ai l'impression d'avoir suffisament coupé les cheveux en quatre !

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Re: Espace T1, point limite <=> point d'accumulation

par GaBuZoMeu » 22 Déc 2019, 19:33

J'ai lu en diagonale, c'est ce que j'avais suggéré au départ et ça marche.

Le raisonnement pas l'absurde marche aussi très bien :

Supposons qu'il existe un voisinage de qui ne contient qu'un nombre fini de points de différents de , disons . En utilisant la propriété , on a pour chaque un voisinage de qui ne contient pas . Alors est encore un voisinage de et il ne contient aucun point de différent de . Contradiction.

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Re: Espace T1, point limite <=> point d'accumulation

par chombier » 22 Déc 2019, 19:42

GaBuZoMeu a écrit:J'ai lu en diagonale, c'est ce que j'avais suggéré au départ et ça marche.

Exact, et merci !

GaBuZoMeu a écrit:Le raisonnement pas l'absurde marche aussi très bien :

Supposons qu'il existe un voisinage de qui ne contient qu'un nombre fini de points de différents de , disons . En utilisant la propriété , on a pour chaque un voisinage de qui ne contient pas . Alors est encore un voisinage de et il ne contient aucun point de différent de . Contradiction.

En effet, je me suis fait des noeuds au cerveau. Pour moi on voulait prouver que est infini donc un raisonnement par l'absurde devait forcément commencer par "supposons que est fini". Seulement " est fini" est équivalent à " est fini" qui lui est exploitable.

Merci à toi !

EDIT : corrigé !
Modifié en dernier par chombier le 24 Déc 2019, 13:46, modifié 2 fois.

GaBuZoMeu
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Re: Espace T1, point limite <=> point d'accumulation

par GaBuZoMeu » 22 Déc 2019, 19:49

chombier a écrit:Seulement est fini est équivalent à qui lui est exploitable.

Tu voulais écrire " est fini", je pense ?

Merci à toi !

Avec plaisir.

 

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