Limite supérieure

[egan]

Salut tout le monde,

Est-ce que vous pouvez me donner une piste pour montrer que la limite supérieure d'une suite est la plus grande valeur d'adhérence de la dite suite. Le point qui m'intéresse, c'est la plus grande. J'ai déjà réussi à montrer que c'était une valeur d'adhérence.

Merci d'avance.
@+ Boris.

[kadodo]

Soit "a" la limite sup de (u_n), alors il existe une sous-suite (u_k) maximisante qui converge vers a. Supposons qu'il existe "b" une autre V.A telle que b>a alors la aussi il y'a une sous-suite (u_l) qui converge vers b. Ceci contredit l'aspect maximum de la sous-suite (u_k).

[egan]

Qu'est-ce que tu appelles une sous-suite maximisante ?

[Matt_01]

En reprenant les termes de kadodo, la seconde sous suite serait, à partir d'un certain rang, minorée par a ...

[Maxmau]

Salut tout le monde,

Est-ce que vous pouvez me donner une piste pour montrer que la limite supérieure d'une suite est la plus grande valeur d'adhérence de la dite suite. Le point qui m'intéresse, c'est la plus grande. J'ai déjà réussi à montrer que c'était une valeur d'adhérence.

Merci d'avance.
@+ Boris.

bonjour ( je reprends ce que j'ai écrit par ailleurs)

Soit En l’ensemble des valeurs de la suite u d’indice supérieur ou égal à n.
On pose: an = Inf En et bn = Sup En
Alors: an tend en croissant vers limInf u = a
Et bn tend en décroissant vers limSup u =b

Soit x > b. le nombre d'indices k tq uk > x est fini. Un réel > b ne peut donc être valeur d'adhérence de la suite u
b peut être approché d'aussi près qu'on veut par un bn (avec n aussi grand qu'on veut). Ce bn (d'près la déf de la borne sup) peut être approché d'aussi près qu'on veut par un uk. Donc b peut être approché d'aussi près qu'on veut par un uk (avec k aussi grand qu'on veut). b est donc une VA de la suite u

[egan]

Merci pour ta réponse.

Je ne comprends pas ce passage.

Soit x > b. le nombre d'indices k tq uk > x est fini. Un réel > b ne peut donc être valeur d'adhérence de la suite u.

Je comprends ce que tu veux faire mais je ne vois pas pourquoi:

-le nombre d'indices k tq uk > x est fini
-Un réel > b ne peut donc être valeur d'adhérence de la suite u.

[Maxmau]

Merci pour ta réponse.

Je ne comprends pas ce passage.



Je comprends ce que tu veux faire mais je ne vois pas pourquoi:

-le nombre d'indices k tq uk > x est fini
-Un réel > b ne peut donc être valeur d'adhérence de la suite u.

je raisonne d'une manière légèrement différente:
Pour n assez grand bn < x. Or il n'y a qu'un nombre fini d'indices k tq uk en dehors de An.
Il existe donc un intervalle I (de longueur non nulle) centré en x pour lequel il n'existe qu'un nombre fini d'indices k tq uk soit dans I. x ne peut donc être valeur d'adhérence de la suite u.

[egan]

C'est bon, j'ai compris. :id: C'est élégant.

Merci. ^^