Pgcd

par **thsma** » 28 Sep 2008, 13:36

Bonjour,

J'ai un problème sur un exercice avec le pgcd.

Si pgcd(a,b) = 1 montrer que : pgcd((a+b),ab) = 1, pgcd((a+b),(a²-ab+b²)) = 1 ou 3, et pgcd ((2a+b),(5a+2b)) = 1.

Déjà a et b sont premiers.

Je sais pas si on peut utiliser : au + bv = 1

Enfin, je coince sur cet exo.

Merci de votre aide.

par **leon1789** » 28 Sep 2008, 13:44

thsma a écrit:Je sais pas si on peut utiliser : au + bv = 1

oui, la meilleure chose est d'utiliser la relation que tu donnes. Avec ça, on peut répondre à toutes les questions que tu as posées.

par **leon1789** » 28 Sep 2008, 13:48

thsma a écrit:montrer que : pgcd((a+b),ab) = 1,

en utilisant a² = (a+b)a - ab , et b² = (a+b)b - ab , montre que pgcd((a+b),ab) divise pgcd(a²,b²). Ensuite, mets la relation au+bv=1 au cube pour prouver que pgcd(a²,b²) = 1 .

par **leon1789** » 28 Sep 2008, 13:50

thsma a écrit: pgcd((a+b),(a²-ab+b²)) = 1 ou 3,

(a+b)a = a²+ab donc pgcd( a+b , a²-ab+b² ) =pgcd( a+b , -2ab+b²)
(a+b)b = ab+b² donc pgcd( a+b , -2ab+b² ) = pgcd( a+b , -3ab )
et là, on utilise la première question...

par **leon1789** » 28 Sep 2008, 13:52

thsma a écrit:pgcd ((2a+b),(5a+2b)) = 1.

(5a+2b)-2(2a+b) = a donc pgcd ( 2a+b , 5a+2b ) = pgcd ( 2a+b, a )
(2a+b) - 2(a) = b donc pgcd ( 2a+b, a ) = pgcd ( b, a )

par **thsma** » 28 Sep 2008, 13:53

Je suis désolé mais je comprends pas ce que tu veux dire. :triste:

par **leon1789** » 28 Sep 2008, 14:03

thsma a écrit:Je suis désolé mais je comprends pas ce que tu veux dire. :triste:

dans quelle réponse ?

par **yos** » 28 Sep 2008, 15:04

Alternative :
a est premier à b, donc à a+b (mêmes diviseurs communs).
De même b est premier à a+b.
a+b est donc premier à a et à b, donc à leur produit.

par **leon1789** » 28 Sep 2008, 15:23

yos a écrit:Alternative :
a est premier à b, donc à a+b (mêmes diviseurs communs).
De même b est premier à a+b.
a+b est donc premier à a et à b, donc à leur produit.

oui :
pgcd(a+b,a) = pgcd(b,a) = 1 et pgcd(a+b,b) = pgcd(a,b) = 1
donc pgcd(a+b,ab) = 1

C'est "un peu" (sic) plus simple que ce que je proposais pour la question 1 :zen:

par **abcd22** » 28 Sep 2008, 16:07

Bonjour,

thsma a écrit:Déjà a et b sont premiers.

Ils sont premiers entre eux, ce nest pas du tout pareil quêtre premier, 8 et 15 sont premiers entre eux et pas premiers par exemple.

par **Maxmau** » 28 Sep 2008, 16:29

Bj
message à thsma
Il est utile de retenir le résultat suivant (évident à établir):
On ne change pas le le PGCD de 2 nombres en retirant à l'un un multiple dde l'autre

Pgcd

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