Petite question sur les valeurs d'adhérence!

[bourbaki]

bonjour
j'ai un peu de souci sur un exo de cours:
en fait, une suite qui n'est pas bornée PEUT ne pas avoir de valeur d'adhérence !

mais aussi , une suite qui n'est pas bornée peut avoir une valeur d'adhérence selon l'xemple ci-dessus!
U(2n) =1 et U(2n+1)=2n+1.
on l'a fait en cours mais j'ai pas tres bien compris la résolution :triste: en fait, le prof , le prof voulai montrer que cette suite admet 1 come valeur d'adhérence même si elle n'est pas bornée, pour cela il a dit qu'il existe une suite extraite ayant L pour limite ( on doit trouver que L=1) et puis il a conclut qu'elle stationnaire à partir d'un certain rand N et après je ne comprend plus rien !
est ce que vous connaissez la démo ?

merci

[alben]

Bonjour,

En fait, la définition habituelle d'une valeur d'adhérence d'une suite, c'est une limite vers laquelle converge une sous-suite extraite de la première.
Dans l'exemple donné, en ne conservant que les termes d'indices pairs on obtient une suite constante et donc convergente vers 1. Cela suffit à montrer que 1 est valeur d'adhérence.
Il n'y a pas de "demo", c'est un simple exemple.

[nimiclius]

Attention, le théoreme de bolzano weierstrass ne dit absolument pas ca...
Il dit que toute suite bornée admet une valeur d'adhérence. Ca veut donc dire que SI une suite est bornée ALORS elle admet une valeur d'adhérence. Ce que tu affirmes n'a donc pas de fondements.

[BQss]

bonjour
j'ai un peu de souci sur un exo de cours:
en fait, une suite qui n'est pas bornée PEUT ne pas avoir de valeur d'adhérence !

mais aussi , une suite qui n'est pas bornée peut avoir une valeur d'adhérence selon l'xemple ci-dessus!
U(2n) =1 et U(2n+1)=2n+1.
on l'a fait en cours mais j'ai pas tres bien compris la résolution :triste: en fait, le prof , le prof voulai montrer que cette suite admet 1 come valeur d'adhérence même si elle n'est pas bornée, pour cela il a dit qu'il existe une suite extraite ayant L pour limite ( on doit trouver que L=1) et puis il a conclut qu'elle stationnaire à partir d'un certain rand N et après je ne comprend plus rien !
est ce que vous connaissez la démo ?

merci

Oula oula, tu prends plein de concept et tu melanges tout:

en fait le probleme c'est que tu n'as pas (encore) saisi la nuance entre "une infinité" et tous "sauf un nombre fini".
Une fois que ca ce sera clair pour toi(c'est juste un concept a réaliser mentalement), tu y verras plus clair.

exemple la suite (-1)^n +1/n. Et bien quelque soit le voisinage de -1(i.e l'ensemble qui contient -1 en l'occurence si tu preferes) il y a une infinité de terme de la suite qui sont dans ce voisinage, mais par contre il est faux de dire que tout les termes sauf un nombre fini de cette suite valent -1, trivialement tu vois bien que il y a aussi une infinité de terme dans un voisinage de 1. Ainsi cette suite a deux points d'accumulation.

Autre exemple 1+ 1/n, cette fois, cette fois tout les termes sauf un nombre fini appartiennent bien a n'importe qu'elle voisinage de 1. Ainsi cette suite n'a qu'un point d'accumulation et on l'appel sa limite(ATTENTION, le fait de n'avoir qu'un poin d'accumulation n'entraine pas le fait d'avoir une limite comme l'exemple du paragraphe suivant le montre).par contre si tout les termes sauf un nombre fini appartiennent a n'importe quel voisinage d'un point alors ce point est la limite de la suite, MAIS si une infinité de terme "seuleument" appartiennent a n'importequel voisinage d'un point, l'implication est fausse.

Autre exemple encore : la suite qui vaut 1 pour n=2k et n^2 pour n=2k+1
Et bien cette suite n'a qu'un point d'accumulation qui est 1 en l'occurence, cependant elle n'est pas convergente.
Pourquoi?
Car même si une infinité de n appartiennent a tout voisinage de 1, tous sauf un nombre fini n'appartiennent pas a ce voisinage, il y en a une infinité qui n'appartient pas a tout voisinage de 1, c.a.d tout les termes impaires (les termes impaires ne generent aucun point d'accumulation pour autant).


Tu vois donc que tout ces theoremes sont a manier avec des pincettes, essaie surtout de les comprendre.



REVENONS DONC A TON THEOREME:

1)tu dis une suite qui n'est pas borné peut ne pas avoir de valeur d'adhérence:
evidemment, une suite qui diverge par exemple ( qui est un cas particulier de suite non bornée) n'a pas de valheur d'adhérence.

2)tu dis une suite qui n'est pas borné peut avoir une valeur d'adhérence: evidemment cf mes exemples et ceux de ton prof.


si une suite n'est pas bornée tu as donc deux possibilité:
soit elle diverge(dans ce cas la, pas de valeur d'adhérence de maniere sur).
Soit elle n'a pas de limite(dans ce cas la pas forcement non plus de valeur d'adhérence exemple: un définie par u2n=n et u2(n+1)=-n, mais elle peut en avoir, ex:u2n=1+1/n et u2(n+1)=-n) .


3)Par contre comme l'a dit le precedent intervenant:
une suite borné a forcement une valeur d'adhérence, ce qui n'est absolument pas contradictoire avec 1) ou 2). Tes conjectures sont justes et a contrario cette fois du precedent intervenant je te confirme que tes affirmations sont tout a fait fondées.




MAINTENANT LA DEMO:


La demo est tout ce qu'il y a plus de trivial:
un point x est une valeur d'adhérence si tout voisinage de x contient une infinité de terme de la suite.
or u(2n)=1, c'est a dire que u(n) =1 pour tout n qui est un nombre pair.
Tout voisinage de 1 contient donc une infinité de terme de la suite qui ne sont autres que l'ensemble des termes de nombre pairs.
Je rappel que l'ensemble des nombres pairs et en bijection avec les entiers et ils sont donc de meme cardinal, c'est a dire qu'il y a une infinité de nombre pair et donc une infinité de terme paire de la suite...

LA DEMO DE TON PROF:
Il a du ecrire:
si x est une valeur d'adherence de la suite (un) il existe une sous suite qui converge vers x.
Verifions que u2n=1, la sous suite extraite des nombres pairs(n-->2n) admet bien une limite( LOL...).
i.e Quelquesoit I contenant x il existe un rang no tel que quelque soit n>n0 x appartient à I.

Or La suite (u2n) est stationnaire, c.a dire qu'il existe un rand n0 tel que quelque soit n>n0 u2n=CSTE. i.e quelque soit J contenant cette valeur il existe un rang n0 tel que quelque soit n>n0 un appartient a J, d'apres la definition de J.
Donc u2n converge (converge vers 1), donc 1 est un point d'accumulation et tu as bien trouvé une suite non bornée qui avait un point d'accumulation( la suite (U(2n) =1 et U(2n+1)=2n+1).