Valeurs d'adhérence d'une suite.

[matthieu45]

Bonsoir, je coince un petit peu sur cet exercice.
En bref, on me donne une fonction f(x)=ln(sqrt(1+x^2)-x)/ln(1+sqrt(2))
et on définit la suite (u indice n+1) = f(un)
On m'a demandé d'étudier le signe de f(x)+x, puis de montrer que les suites (u indice 2n) et (u indice 2n+1) étaient monotones. Jusque là c'est ok.

Mais après, on me demande de démontrer que, si u0 est strictement compris entre 0 et 1, la suite u possède deux valeurs d'adhérence, -1 et +1.
Puis on me demande, que dire de la suite u lorsque u0 est strictement supérieur à 1 ?

Je ne vois pas trop, je comptais étudier la fonction g=fof mais cela n'aboutit pas.

Merci d'avance de vos conseils.
Bonne soirée.

[jose_latino]

En dérivant on obtient : et , alors est croissante.
Si alors , on peut concluire que (vérifier que si ), et comme , on a que si . Alors si tu prennes , alors la suite est borné par , alors cette suite est monotone et bornée alors celle-ci a un limite L. Remaque que , si tu prennes le limite tu auras que , comme alors , il faut déterminer et tu pourras déterminer les valeurs d'adhérence.

J'espère ne pas avoir fait un erreur de calcul. À bientót