Petite question de somme
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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pouik
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par pouik » 30 Sep 2007, 17:27
Bonsoir,
J'essaye sans succès de montrer que si
est un endomorphisme d'un espace vectoriel
vérifiant la relation
alors :
 \oplus Ker(u - 2Id_E))
j'arrive à démontrer que l'intersection est réduite au singleton nul mais je n'arrive pas à montrer la somme (le coup de la somme des dimensions ne marchant pas ici car E n'est pas supposé de dimension finie).
Merci d'avance pour votre aide.
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Skullkid
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par Skullkid » 30 Sep 2007, 18:27
Bonsoir, pour montrer que 2 sev F et G sont supplémentaires dans E, c'est souvent pratique de procéder par analyse-synthèse en montrant que tout élément de E se décompose de façon unique en somme d'un élément de F et un élément de G.
Ici, ça marche. Soit
, suppose qu'il existe
\in\ker(u-id)\times\ker(u-2id))
tel que
, et cherche les valeurs nécessaires de
et
, ce qui te donnera l'unicité (sous réserve d'existence).
Ensuite, vérifie que
et
sont bien solutions du problème (en particulier qu'ils appartiennent bien au bon ensemble), et tu auras l'existence.
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pouik
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par pouik » 30 Sep 2007, 18:59
et comment fais-je pour trouver
et
. Je suis un peu perdu !
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Skullkid
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par Skullkid » 30 Sep 2007, 19:41
Tu profites de leurs propriétés :
)
ça veut dire que
=x_1)
. Et
)
ça veut dire que
=2x_2)
. Applique donc u à x et tu obtiendras l'expression de
en fonction de x, puis celle de
en fonction de x.
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fahr451
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par fahr451 » 30 Sep 2007, 19:46
tu peux habilement écrire
x = [u(x) -x ] - [u(x)-2x]
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pouik
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par pouik » 30 Sep 2007, 19:59
 = u(x_1) + u(x_2) = x_1 + 2x_2)
et
donc :
 - x)
et :
)
est-ce correct ?
mais ce que je ne comprends pas c'est où utilise t on la relation donnée dans l'ennoncé ?
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Skullkid
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par Skullkid » 30 Sep 2007, 20:11
Là tu as prouvé l'unicité, sous réserve d'existence. Maintenant, faut montrer que
et
, et tu y arriveras grâce à la relation de l'énoncé.
Ou sinon avec la méthode de fahr, tu exhibes
et
(alors pas besoin de les chercher, faut juste montrer qu'ils conviennent), et comme t'as déjà montré que l'intersection des deux noyaux était nulle, tu peux conclure. Mais bon, fahr est habile, et c'est pas mon cas ^^
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pouik
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par pouik » 30 Sep 2007, 20:29
Skullkid a écrit:Là tu as prouvé l'unicité, sous réserve d'existence. Maintenant, faut montrer que
et
, et tu y arriveras grâce à la relation de l'énoncé.
(x_1) = 2u(x) - u^2(x) - 2x + u(x) = -(u^2 - 3u + 2id_E)(x)=0)
donc
)
(x_2) = u^2(x) - u(x) -2u(x) + 2x = 0)
donc
)
donc c'est bon.
Sinon pourriez-vous m'expliquer l'astuce de fahr451 que je ne comprends pas bien.
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