Petit problème

[loulou231]

Bonsoir à tous,
j'ai un problème avec cet exo...aie aie aie

ABCDEFGH est un cube de centre O, dont l'arête est l'unité de longueur.
A) On veut déterminer l'ensemble des points M de l'espace qui vérifient la relation (R1) :

MA^2+MB^2+MC^2+MD^2+ME^2+MF^2+MG^2+MH^2 = 12

1. Exprimer MA^2+MB^2+MC^2+MD^2+ME^2+MF^2+MG^2+MH^2 en fonction de MO et de OA.

2. Déterminer la longueur OA.

3. En déduire que l'ensemble ds points M qui vérifient la relation (R1) est une sphère que l'on précisera.

B) On veut déterminer l'ensemble des points M de l'espace qui vérifient la relation (R2) :

MA^2+MB^2+MC^2+MD^2-ME^2-MF^2-MG^2-MH^2 = 12

1. On appelle I et J les centres respectifs des faces ABCD et EFGH. Démontrer que la relation (R2) est équivalente à OM.IJ = 3/2 (c'est OM scalaire IJ).

2. Soit K la projection orthogonal de M sur la droite (IJ). Démontrer que K est le symétrique de I par rapport à J.

3. En déduire l'ensemble des points M de l'espace vérifiant la relation (R2) et en donner une équation cartésienne dans un repère orthonormal convenablement choisi.

Voilà, merci beaucoup d'avance
A+

[loulou231]

Svp...quelqu'un peut m'aider ? :briques:

[c pi]

Bonsoir

1. Exprimer MA^2+MB^2+MC^2+MD^2+ME^2+MF^2+MG^2+MH^2 en fonction de MO et de OA.

Tu peux remplacer par donc par
dont le développement te donne

Procède de même avec tous les MB², MC²,... puis additionne-les.

Dans la somme obtenue

- tous les doubles produits scalaires s'annulent deux à deux sous la forme
où est une somme de deux vecteurs opposés ;

- tous les OB², OC²,... sont égaux à OA².

Et toute l'expression se réduit finalement à 8(MO²+OA²).

[loulou231]

Moi pour la 1ere question j'ai trouvé : 8(MO + OA)² .
pourquoi vos doubles produits s'annulent ?

[loulou231]

Dans mon énoncé il n'y a pas de vecteurs, c'est peut etre pour ça que moi j'ai encore les doubles produits, non ?

[c pi]

J'ai complété ma réponse précédente par l'explication des doubles-produits scalaires qui s'annulent.

Dans l'énoncé il n'y a pas de vecteurs, mais pour introduire le point O j'ai eu recours aux vecteurs. C'est possible parce que le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est égal au carré de sa norme (cosinus d'un angle nul = 1).

En général, et c'est le cas ici, il est faux d'écrire que MA=MO+OA (longueurs).
Ce n'est vrai que pour les vecteurs (relation de Chasles).

[loulou231]

d'accord j'ai compris.
Pour le reste vous pouvez m'aider ?

[c pi]

Pour le calcul de OA, les propriétés du cube permettent d'utiliser le théorème de Pythagore.

En reportant cette valeur calculée de OA (?) dans 8(MO²+OA²) = 12
on détermine facilement MO² puis MO (?).

Comme on trouvera une valeur constante pour MO, le point M appartiendra nécessairement à une sphère de centre O et de rayon OM.

La partie B se résout certainement par une méthode analogue,
mais en ce qui me concerne... :dodo:

Bon courage !

[loulou231]

Merci beaucoup
Bonne nuit et à la prochaine

[c pi]

Pour la partie B

En transformant les carrés de longueurs en produits scalaires de vecteurs (comme en A) on obtient
- pour la somme des quatre premiers
avec parce que I est le centre de la face ABCD ;
- pour la somme des quatre derniers
avec parce que J est le centre de la face EFGH.
Tout le premier membre se réduit finalement à
L'équation devient d'où on tire facilement le résultat attendu.

On peut en déduire que
car IJ=1
parce que K est le projeté orthogonal de M sur (IJ)


Les points I, O, J et K étant alignés dans cet ordre, OK=OJ+JK=3/2
O étant milieu de [IJ] et IJ valant 1, OJ=1/2
on peut dire que JK=OK-OJ=3/2-1/2=1=IJ
et par conséquent que K est le symétrique de I par rapport à J.

L'ensemble des points M satisfaisant la relation (R2) est donc le plan orthogonal à (IJ) passant par K, symétrique de I par rapport à J.

En choisissant un repère orthonormé d'origine O
dont l'axe des abscisses (Ox) a pour vecteur unitaire , ce plan a pour équation x=3/2.

[loulou231]

Bonjour,
je ne comprends pas comment on trouve que OM.IJ = 3/2.
Pour montrer que K est le symétrique de I par rapport à J, j'ai pas trop suivi...

[c pi]

Bonjour

je ne comprends pas comment on trouve que OM.IJ = 3/2.

, donc

Pour montrer que K est le symétrique de I par rapport à J, j'ai pas trop suivi...

As-tu fait une petite figure partielle ?

Sur la droite (IJ) passant par les centres I et J de deux faces opposées du cube,
le centre O de ce dernier est au milieu du segment [IJ]
dont la longueur est égale à celle de l'arête (=1) :

I--------O--------J



étant positif, et ont même sens
et I, O, J, K sont alignés dans cet ordre :

I--------O--------J-----------------K



Le point J est bien au milieu du segment [IK],
autrement dit K est le symétrique de I par rapport à J.

[loulou231]

bonsoir j'ai simplement un problème pour montrer que K est le symétrique de I par rapport à J, je ne comprends pas bien.
Merci
A+ :hein:

[loulou231]

d'accord, j'ai compris
merci beaucoup