Petit CC d'Algèbre (Produit scalaire)

[Aispor]

Re !
La question de cette exercice est sensé être bateau, et donner facilement des points,
néanmoins pour celui-ci ça reste un grand mystère.
Et ce serait dommage de ne pas y arriver puisque ça tombe quasi tous les ans.



J'ai donc commencé par la symétrie (ce que l'on recommandait) :
J'en ai déduit que

lambda*<y|b><x|a>=lambda*<y|a><x|b> pour tous x,y appartenant à E

Donc que soit lambda=0 (ce qui me paraît un peu facile xD)
Sinon, j'ai particularisé en x=a et y=b et il vient <a|b>= +ou-1
Mais rien ne ressemble à ce que l'on trouve d'habitude (cf des valeurs triviales pour les vecteurs ou réels recherchés).
Au départ j'aurais voulu montrer a=b, mais pas réussis

Voici donc =)
Merci d'avance !

[pascal16]

vu de loin (pas de calculs faits) :

produit scalaire : forme bilinéaire symétrique définie positive
forme : OK
φ(0,0)=0 => ?
ensuite : bilinéarité = OK
définie : φ(x,y)=0 => .... condition sur λ
symétrie => condition sur a et b
déférent du produit scalaire de départ -> dernière condition.

le tout étant je pense directement une équivalence

[Ben314]

Sinon, j'ai particularisé en x=a et y=b et il vient <a|b>= +ou-1

Vu que ||a||=||b||=1, ça te fait penser à rien ?
Indication : un exercice sur les produits scalaire où il n'y a pas au moins une fois utilisation de "C.S.", c'est pas un exo. normal

[Aispor]

Ah si !
a= +ou- b
Mais niveau positivité après c'est dur ><

[Ben314]

Ah si !
a= +ou- b

Tu le justifie comment ?

Sinon, avec juste la symétrie, ça te donne lambda=0 ou bien a=b ou bien a=-b, mais en fait c'est la même chose vu qu'on peut sortir le "-" du produit scalaire et le faire "rentrer" dans le lambda qu'il y a devant..
En pointant du doigt qu'on doit évidement avoir phi(0,0)=0, ça montre que forcément mu=0 (donc il est là juste pour embrouiller le client)
Donc si lambda=0, c'est fini vu que phi(x,y)=<x|y> et il reste à traiter le cas
qui est bien bilinéaire symétrique et il reste à voir si elle est "définie positive" et donc étudier la forme quadratique associée (qui doit être >0 pour tout x non nul)
(1) Si tu en pense quoi ?
(2) Si tu prend , ça donne quoi ?
(3) En utilisant (de nouveau) C.S., ça donne quoi comme minoration pour q(x) ?

[Aispor]

Je le vois sur R2 mais sinon je sais pas
Désolé mais je pense que je vais laisser tomber cet exo je n'y arrive vraiment pas x)
Bon au moins je peux tout faire jusqu'à définie positif :p
Merci Beaucoup !

[Ben314]

L'inégalité de inégalité de Cauchy-Schwarz (C.S.) te dit que |<a|b>| <= ||a||. ||b| avec égalité ssi a et b sont colinéaires.
(à savoir absolument, vu que ça sert dans à peu prés tout les exercices où il y a un produit scalaire)

Donc si tu sait que ||a||=||b||=1 et que <a|b>= +ou-1, ben ça veut dire que tu est dans le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz donc que a et b sont colinéaires.