Permutations: table de Cayley

[Elog]

Hello!

J'ai un problème à propos d'un petit exercice sur les permutations. En fait j'arrive à faire l'exercice mais je ne comprends pas la correction du livre. Un élève de CM2 pourrait sans doute comprendre, mais je bug depuis 1h dessus...

On me demande de dresser la table de Cayley du groupe ou (normalement c'est un "S majuscule gothique" mais je n'ai pas trouvé) désigne l'ensemble des bijections de c'est à dire de {1, 2, 3} {1, 2, 3}

Je sais qu'il y a 3! = 6 bijections au total et il est facile de les énumérer:
Id: 1 1, 2 2, 3 3 qui est donc l'application identité
: 1 1, 2 3, 3 2 une autre bijection
: ....
etc

Après on les composant on dresse facilement la table de Cayley du groupe en question.

Mon souci c'est que dans la correction ils ne font pas comme moi, ils définissent bien 6 bijections: l'application identité et 5 autres définies par a = (1, 2), b = (1, 3), c = (2, 3), d = (1, 2, 3) et e = (1, 3, 2) et ensuite les composent entre elles pour dresser la table de Cayley. Par exemple c'est à dire
Je ne comprends pas d'ou viennent ces a, b, c, d et e qui doivent représenter des bijections et comment donne

Je suis désolé de poser cette question, j'en ai même un peu honte car je me doute que c'est évident mais vraiment je ne vois pas...

Merci d'avance

[Monsieur23]

Aloha,

C'est juste une façon d'écrire les permutations (ou plutôt les cycles). Le cycle est la permutation qui envoie sur , sur , ..., sur .

Il y a un théorème qui dit que toute permutation s'écrit comme produit de cycle disjoint.
Ici, (1 2) est la permutation qui échange 1 et 2, et laisse 3 fixe, (1 3 2) est la bijection 1 -> 3, 3 -> 2, 2 -> 1.

Pour les multiplier, on va de droite à gauche :
(1 2) (1 3) : on envoie 1 sur 3, puis 3 reste fixe, donc 1 va sur 3.
on envoie 2 sur 2, puis sur 1, donc 2 va sur 1.
on envoie 3 sur 1, puis 1 sur 2, donc 3 va sur 2.
Au final : (1 2)(1 3) = (1 3 2).

[zygomatique]

salut

c'est une notation conventionnelle des permutations de {1, 2, ..., n}

exemple avec ton d = (1, 2, 3)

d est la permutation/bijection telle que :

d(1) = 2
d(2) = 3
d(3) = 1

il est alors aisé de calculer (1, 2) o (1, 3) ....

[Elog]

Effectivement, c'est simple. Le truc c'est que dans le livre ils donnent des exos avant d'avoir traité la partie sur les décompositions de cycle et s'en servent dans la correction ce qui est un peu dommage... Bref, si je reprends mon exemple:

pour ,
- pour 1, on a 12 et ensuite 2 3 donc 13
- pour 2, on a 23 et ensuite 3 2 donc 22
- pour 3, on a 31 et ensuite 1 1 donc 31
On a donc au final

Merci à vous 2!

[Monsieur23]

C'est bien ça