Partie génératrice d'un groupe

[utchiha95]

-on dit qu'un groupe G est fini s'il contient un nombre fini d'element.
-si un groupe G peut être engendrer par une partie finie A alors G fini.
le problème c'est :
on sait que le groupe additif Z (infinie) peut être engendrer par le singleton 1 (partie finie)???pourquoi cette contradiction!

je pense que c'est le sous-groupe engendrer par A qui doit être fini pas A sinon la contradiction va rester

[Ben314]

Salut

-on dit qu'un groupe G est fini s'il contient un nombre fini d'element.
-si un groupe G peut être engendrer par une partie finie A alors G fini.
le problème c'est :
on sait que le groupe additif Z (infinie) peut être engendrer par le singleton 1 (partie finie)???pourquoi cette contradiction !
je pense que c'est le sous-groupe engendrer par A qui doit être fini pas A sinon la contradiction va rester

Ben c'est parce que le truc en rouge est complètement faux...
En te lisant, je m'était arrêté (comme d'habitude) à cette grosse c... en rouge et je m’apprêtait à te donner un exemple pour te montrer que c'est complètement faux, mais comme tu le fait toi même, et qu'en plus l'exemple que tu donne c'est aussi celui que j'aurais donné (c'est sans doute le plus simple) ben j'ai pas grand chose à rajouter...
A part peut-être que si on veut avoir un truc vrai avec les même hypothèses plus d'autres, ben il faut beaucoup beaucoup augmenter les hypothèses vu que :
Si un groupe G est engendré par une partie finie A et que tout les éléments de A sont d'ordre fini alors G fini.
ben ça continue à être faux mais là, le contre exemple est un peu plus délicat à trouver : je peut te le donner, mais si tu veut chercher, il faut évidement un groupe infini et il faut aussi qu'il soit non commutatif (c.f. th. en bleu ci dessous) donc un bon candidat pour trouver un contre exemple c'est avec un sous groupe du groupe GL2(R) des matrices inversibles.
Sinon, le seul truc que je vois dans la même veine qui lui serait vrai, c'est ça :
Si un groupe commutatif G est engendré par une partie finie A et que tout les éléments de A sont d'ordre fini alors G fini..
Mais c'est super restrictif vu que ça demande à G d'être commutatif.

EDIT :
En fait j'avais pas "tout lu" (en tout cas j'ai pas répondu à tout ) :

Je pense que c'est le sous-groupe engendrer par A qui doit être fini pas A...

Effectivement, là, c'est bien un "théorème" (dans le sens que cette fois c'est vrai),
Sauf que un théorème qui dit que :
Si un groupe G est engendré par une partie A telle que le sous groupe engendré par A soit fini alors G est fini.
Ben ça s'appelle une tautologie vu que ça dit très exactement que, si G est fini alors G est fini.