Partie fermée

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit E l'espace vectoriel des fonctions continues de [-1,1] dans R.
Soit En l'espace vectoriel des fonctions polynomiales continues de [-1,1] dans R de degré inférieur ou égal à n où n est un entier.

Soit f un élément de E.
On pose :

Je dois montrer que K est une partie fermée de En mais j'y arrive pas.

[Kolis]

Bonjour !
est la boule fermée de centre et rayon .
Ton ensemble est l'intersection de cette boule et de l'espace .

Maintenant, si tu ne sais pas que est un fermé de , que la boule fermée est un fermé et que l'intersection de deux fermés en est un, tu auras du mal !

[Ben314]

Et je sais même pas si la réponse n'est pas en fait plus simple que ça.
Ce que tu (Kolis) montre, c'est que K est un fermé de E alors que la question c'est :

Je dois montrer que K est une partie fermée de En

donc on a même pas besoin de savoir que En est un fermé de E, mais seulement qu'une boule fermé est un fermé.

[mehdi-128]

Vous allez un peu trop vite pour mon faible niveau. Mais j'essaie de partir d'une indication :

Soit : et qui a :

Ca veut dire quoi : (R , |.|) ? La norme est à valeurs dans R+ donc je comprends pas ...

[mehdi-128]

Soit :

L'application phi est continue car 1 lipschitzienne mais comment calculer l'image de phi ?

Je voudrais utiliser le théorème : l'image réciproque d'un fermé est un fermé.

[Pseuda]

Soit : et qui a :

Ca veut dire quoi : (R , |.|) ? La norme est à valeurs dans R+ donc je comprends pas ...

Bonsoir,

Je pense que ceci veut dire : R muni de la valeur absolue (même si celle-ci est à valeurs dans R+).

[Pseuda]

Soit :

L'application phi est continue car 1 lipschitzienne mais comment calculer l'image de phi ?

Je voudrais utiliser le théorème : l'image réciproque d'un fermé est un fermé.

Je ne sais pas quelle est la question, mais je dirais que K est un compact (partie fermée bornée dans un evn de dimension finie), et que l'image d'un compact par une application continue est un compact.

[mehdi-128]

Soit :

L'application phi est continue car 1 lipschitzienne mais comment calculer l'image de phi ?

Je voudrais utiliser le théorème : l'image réciproque d'un fermé est un fermé.

Je ne sais pas quelle est la question, mais je dirais que K est un compact (partie fermée bornée dans un evn de dimension finie), et que l'image d'un compact par une application continue est un compact.

Oui montrer que K est un compact : j'ai montré que K est non vide et borné déjà. Là je voulais montrer que K est fermé.

Pourriez vous m'expliquer pourquoi : ?

[Pseuda]

Bonjour,

donc donc ?

Sinon, K est une boule fermée, donc c'est un fermé (si ton but est de montrer que K est un fermé).

[mehdi-128]

Bonjour Pseuda :

Ah je suis d'accord avec vous :

Or est un fermé donc K est un fermé c'est correct.

Je me demandais comment on montre que est un fermé ? Le problème est - l'infini

[Kolis]

Encore une fois prends la peine de lire les réponses !
Ton ensemble est une boule fermée de donc un fermé de cet espace.
Tes "compact", "image réciproque" et "lipschitzienne" ne sont que des complications.

................................................................
Par ailleurs ne pas savoir que l'espace des réels muni de sa norme usuelle se note m'inquiète beaucoup.
Comment fais-tu avec ? Vas-tu protester parce que la norme n'est pas à valeurs dans ?

[Pseuda]

Bonjour mehdi,

K est une boule fermée incluse dans un evn (En) donc c'est un fermé (si ton but est de montrer que K est un fermé).

Pour montrer que R- est un fermé, c'est du cours, mais je dirais que son complémentaire R+* est un ouvert (tout point de R+* est le centre d'une boule incluse dans R+*).

Pas vu le message de Kolis.

[mehdi-128]

Encore une fois prends la peine de lire les réponses !
Ton ensemble est une boule fermée de donc un fermé de cet espace.
Tes "compact", "image réciproque" et "lipschitzienne" ne sont que des complications.

................................................................
Par ailleurs ne pas savoir que l'espace des réels muni de sa norme usuelle se note m'inquiète beaucoup.
Comment fais-tu avec ? Vas-tu protester parce que la norme n'est pas à valeurs dans ?

K est la boule fermée de centre f et de rayon ?

[Kolis]

Oui ! Donc un fermé de .
Et son intersection avec est un fermé de .

[mehdi-128]

Y a un détail qui me gêne comme

Pourquoi on dit pas directement que c'est un fermé de En car boule fermée de En ?

Je comprends pas l'intersection avec E.

[Pseuda]

Bonjour mehdi,

On veut montrer que K est un fermé de En.

Toute boule fermée incluse dans un e-v A est un fermé de A. Donc à mon sens, il suffit de dire que K est une boule fermée incluse dans l'ev En et c'est suffisant pour dire que K est un fermé de En.

Mais il se trouve que K est aussi un fermé de E car En en tant que ss-ev de E est fermé. Donc K est l'intersection de 2 fermés de E (K = En inter F fermé de E) donc c'est un fermé de E (mais ceci est inutile pour montrer ce que tu veux montrer).

Dr manière générale, K fermé de E et K c G => K fermé de G ici En (mais c'est inutile, on a K fermé de En directement).

[mehdi-128]

Bah moi d'après ce que j'ai compris :

et K est une boule fermée alors K est un fermé de

Je sais aussi que tout sous espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension fini est fermé donc est fermé.

Par contre j'ai pas du tout compris pourquoi K est un fermé de E et l'histoire des intersections.

[Kolis]

Bonjour !
Non n'est pas une boule fermée de car son centre est dans (on ne dit pas que ).
Il faut bien passer par
1. intersection
2. d'une boule fermée de (donc fermé de
3. et de
4. pour obtenir un fermé de .
...................................................
Maintenant, fermé de , c'est vrai mais ce n'était pas demandé. La justification est, si on a besoin : intersection de deux fermés de .

.........................................
Par contre, tu ne peux pas dire :

Je sais aussi que tout sous espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension fini est fermé
fermé

car ton espace n'est pas de dimension finie.
Mais il est vrai que sev de dimension finie est un fermé de .

[Pseuda]

Ah j'étais persuadée que f était un élément de En. Moralité : bien lire les énoncés.

[mehdi-128]

Bonjour !
Non n'est pas une boule fermée de car son centre est dans (on ne dit pas que ).
Il faut bien passer par
1. intersection
2. d'une boule fermée de (donc fermé de
3. et de
4. pour obtenir un fermé de .
...................................................
Maintenant, fermé de , c'est vrai mais ce n'était pas demandé. La justification est, si on a besoin : intersection de deux fermés de .

.........................................
Par contre, tu ne peux pas dire :

Je sais aussi que tout sous espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension fini est fermé
fermé

car ton espace n'est pas de dimension finie.
Mais il est vrai que sev de dimension finie est un fermé de .

Merci c'est très clair, la boule fermée est dans E pour obtenir la boule fermée dans En on intersecte avec En :