Boule fermée et ensemble compact

[linaab]

Bonjour ,
j'ai deux petites démonstrations à faire dont l'une ma parait évidente :
- on veut montrer que la boule fermée : B (barre ) = { (x²+y²) appartenant à R²/ x²+y² <= 1 } est fermée. Normalement c'est l'équation d'un cercle de centre 0 et de rayon 1 , ou (x²+0)² + (y²+0)² <=1 , mais je ne pense pas que ca soit suffisant ?

- on veut aussi montrer qu'une fonction continue sur un compact y atteint son maximum ? j'ai toutes les définitions de compact, et de continuité mais je ne sais vraiment par quoi commencer , help please


Merciiiii ! : )

[ev85]

- on veut montrer que la boule fermée : B (barre ) = { (x²+y²) appartenant à R²/ x²+y² <= 1 } est fermée. Normalement c'est l'équation d'un cercle de centre 0 et de rayon 1 , ou (x²+0)² + (y²+0)² <=1 , mais je ne pense pas que ca soit suffisant ?

Non, l'équation du cercle de centre 0 et de rayon 1 c'est

Il te suffit de prendre une suite convergente de points de et de démontrer que la limite appartient à .

- on veut aussi montrer qu'une fonction continue sur un compact y atteint son maximum ? j'ai toutes les définitions de compact, et de continuité mais je ne sais vraiment par quoi commencer , help please

Te places-tu dans un espace métrique pour ton compact ?

[Blueberry]

Pour le premier point, montre que est fermé en considérant une suite convergente d'éléments de .

Pour le deuxième point,

Que peut-on dire de l'image d'un compact par une fonction continue ?
Que sait-on des compacts de ?

[Maxmau]

Bj
pour le premier point tu peux utiliser le fait que l'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé

[linaab]

Non, l'équation du cercle de centre 0 et de rayon 1 c'est

Il te suffit de prendre une suite convergente de points de et de démontrer que la limite appartient à .

Donc normalement on aurait : x² R+
x => x²

Cette fonction est continue, donc x² tend vers 1 et 1 appartient bien à B barre ?

Te places-tu dans un espace métrique pour ton compact ?

Il n'ya pas d'allusion à l'espace métrique dans la question ,

[linaab]

Pour le premier point, montre que est fermé en considérant une suite convergente d'éléments de .

Pour le deuxième point,

Que peut-on dire de l'image d'un compact par une fonction continue ?

f(K) est compact
Que sait-on des compacts de ?

qu'un compact est fermé et borné
donc si K est borné, Il existe un M tel que quelque soit x appartenant à K, N(x)<= M
et si la fonction est continue donc dérivable donc admet un x tel que f'(x)=O , il faut donc montrer que x appartient à K?

[Blueberry]

Il n'y a pas besoin de faire intervenir la dérivée.

Ta fonction est à valeur dans quel espace ? , ?

[linaab]

Il n'y a pas besoin de faire intervenir la dérivée.

Ta fonction est à valeur dans quel espace ? , ?

R mais en fait peux tu me dire si le raisonnement que j'ai fait dans la premiere question est juste ? merci

[Blueberry]

donc si K est borné, Il existe un M tel que quelque soit x appartenant à K, N(x)<= M

Mais ce n'est pas le fait que les x soient bornés sur l'espace de départ qui compte ! C'est que les f (x) soit bornés sur l'espace d'arrivée.

[HTML]si la fonction est continue donc dérivable donc admet un x tel que f'(x)=O[/HTML]

Une fonction continue n'est pas dérivable en général.
De toutes façons tu n'expliques pas pourquoi il existerait x tel que f ' (x) = 0
Et en quoi cela prouverait-il que f atteint un maximum ? verifie f ' (0) = 0 et crois-tu qu'elle atteint un maximum en 0 ?

[linaab]

Mais ce n'est pas le fait que les x soient bornés sur l'espace de départ qui compte ! C'est que les f (x) soit bornés sur l'espace d'arrivée.

[HTML]si la fonction est continue donc dérivable donc admet un x tel que f'(x)=O[/HTML]

Une fonction continue n'est pas dérivable en général.
De toutes façons tu n'expliques pas pourquoi il existerait x tel que f ' (x) = 0
Et en quoi cela prouverait-il que f atteint un maximum ? verifie f ' (0) = 0 et crois-tu qu'elle atteint un maximum en 0 ?

c'est une condition necessaire , mais pas suffisante , finalement je pense avoir trouvé la solution pour la deuxieme démonstration , l'idée est que si K est compact, f(K) est compact donc f(K) est borné

Donc Il existe M / sup f(x) = M ( x appartient à K )
donc il existe Xn appartenant à K / f(Xn) <= M et c'est la norme en +00

Par contre, je bloque toujours sur la premiere démonstration de la boule fermée, je ne sais pas quelle suite prendre, pourrais tu etre plus explicite ? merci encore