Partie dense dans R

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit A une partie de .
A est dense dans est équivalent à :

Je suis dans la démonstration de la propriété suivante : l'ensemble des nombres irrationnels est dense dans .
Soit X,Y deux réels tels que
est dense dans donc

Et là j'ai pas compris la suite :

De la même façon, il existe un rationnel

est un réel donc on peut trouver un rationnel entre les réels et Pourquoi une inégalité stricte ?

[hdci]

L'objectif est de montrer qu'entre X et Y il y a un irrationnel.

Le mécanisme sûrement utilisé dans la suite de la démonstration est de montrer qu'entre X et Y il y a un intervalle bornés par deux rationnels ; puis de montrer qu'alors on va trouver un irrationnel dans cet intervalle.

Il est évident que l'irrationnel est strictement compris entre et car ces deux nombres sont rationnels.
il est indispensable donc d'avoir , d'où l'existence de dans

Maintenant, comment savoir à partir de la définition de la densité que vous donnez, qu'il y aura bien un rationnel dans ? (piste : trouver un rationnel strictement inférieur à et l'ajouter à )

[mehdi-128]

Soit :

Donc :

Honnêtement j'ai pas trop compris votre indication

[pascal16]

si X est irrationnel,
tu choisis n tel que 1/n <(Y-X)
et a=X+1/n convient

si X est rationnel,
tu choisis n tel que pi/n <(Y-X)
et a=X+pi/n convient

[hdci]

Sans même savoir que est irrationnel : soit un irrationnel, en ajoutant ou en soustrayant "un certain nombre de fois" la valeur à , pour n "correctement choisi" (c'-a-d. de telle sorte que ), on arrive pile poil dans l'intervalle

Soit :

Donc :

Honnêtement j'ai pas trop compris votre indication

Que n'avez-vous pas compris : pourquoi on peut trouver dans ?

Considérons l'intervalle . En supposant , on a , donc il y a des nombres positifs plus petits que , il y a même des rationnels, il suffit de prendre un très grand entier n, son inverse sera très petit.
Si alors on ajoute ce "tout petit rationnel" à , on ne peut pas dépasser Y car le "tout petit rationnel" est vraiment "très petit".

Remarque : j'ai dit "en supposant ", car si Y est rationnel on aurait pu trouver ; c'est pourquoi je trouve bizarre la définition que vous utilisez pour la densité : à base d'intervalles fermés.
En topologie générale, est dense si tout ouvert non vide de E rencontre A. Ramenés au réels, cela s'exprime par tout intervalle ouvert non vide de rencontre A, et il suffit que ce soit vrai pour tout intervalle ouvert non vide et borné (encore une fois "condition suffisante" : si c'est vrai pour un petit intervalle, c'est vrai pour tout intervalle lus grand qui le contient).
Donc la "définition officielle" de la densité de dans , c'est que tout intervalle avec contienne un rationnel ; avec cette définition, plus de risque que le rationnel trouvé soit l'une des bornes.

La définition par intervalle fermé fonctionne également, à condition de préciser que les bornes sont distinctes (pas de singleton évidemment), puisque dans un intervalle fermé on peut toujours trouver un intervalle fermé strictement inclus : si a<b, on peut trouver a' et b' tels que et donc pour trouver un rationnel dans différent des bornes, il suffit de le trouver dans

[pascal16]

il y a sans doute encore beaucoup d'autres solutions.

[mehdi-128]

Sans même savoir que est irrationnel : soit un irrationnel, en ajoutant ou en soustrayant "un certain nombre de fois" la valeur à , pour n "correctement choisi" (c'-a-d. de telle sorte que ), on arrive pile poil dans l'intervalle

Je comprends pas ce passage...

C'est quoi le rapport entre mon problème et ?
C'est quoi le rapport entre et le fait d'être dans ?
On cherche un rationnel entre pourquoi vous parlez de prendre un irrationnel et de lui soustraire un rationnel 1/n ? Alors que nous on cherche un rationnel strictement supérieur à q1 ?

[hdci]

Concernant pi : je reprenais ce que disait pascal16 :

si X est rationnel,
tu choisis n tel que pi/n <(Y-X)
et a=X+pi/n convient

Le truc est : on veut trouver un irrationnel entre et . Prenons un exemple : on veut trouver un irrationnel entre 1 et 2.
Il se trouve que pi est irrationnel : pi est égal à 3,141592 etc.

Donc pi-1 vaut 2,141592 etc
et pi-2 = 1,141592 etc. et bingo ! c'est compris entre 1 et 2

Or pi-2 est irrationnel, car est un corps et si alors on aurait , donc ce qui est faux.
Bref, hourra ! on a trouvé un irrationnel dans l'intervalle ]1;2[

Bon, mais ceci suppose que l'on sache que pi est irrationnel (et la démonstration est loin, très loin d'être évidente).
Par contre, par construction de , on sait qu'il existe des irrationnels. Soit un irrationnel (on sait qu'il existe, mais "on ne sait pas combien il vaut" - sauf si vous savez démontrer que pi est irrationnel).

• Si , alors on lui retire 1, puis encore 1, etc; jusqu'à arriver entre 1 et 2 : on a donc et est irrationnel (comme pour pi : , si alors contradiction).
• Si maintenant , on fait pareil mais en ajoutant 1 au lieu de retirer 1, jsuqu'à ce qu'on arrive entre 1 et 2.
• Et si et bien il n'y a rien à faire, on l'a trouvé.

Pourquoi ajoute-t-on ou soustrait-on 1 ici ? Parce que 1 c'est exactement 2-1, l'écart entre les bornes. Si on avait pris l'intervalle on aurait ajouté ou retiré 0,3 jusqu'à ce que...

Bon, sauf que parfois les bornes elles-mêmes ne sont pas bien rationnelles, donc ajouter ou retirer l'écart en changerait rien. Par contre si on ajoute ou qu'on retire "un certain nombre (entier) de fois" une valeur qui est strictement plus petite que l'intervalle, on arrive forcément dans l'intervalle : c'est une conséquence de la propriété d'Archimède. Et quoi de mieux comme valeur que que l'on sait être aussi petite que l'on veut, pour peu qu'on prenne n suffisamment grand.

Cette technique est classique, il est bon de la maîtriser et de savoir l'appliquer.

[hdci]

Je complète, parce qu'en relisant je m'aperçois que je n'ai pas répondu à

On cherche un rationnel entre pourquoi vous parlez de prendre un irrationnel et de lui soustraire un rationnel 1/n ? Alors que nous on cherche un rationnel strictement supérieur à q1 ?

J'en étais à l'étape supérieure : et sont trouvés, et on cherche un irrationnel entre les deux.

Maintenant, à vous : connaissant et Y réel (rationnel ou pas peu importe), avec , est-on sûr de trouver tel que ?

Tout ce qui a été dit précédemment vous donne les clés pour répondre à cette question.

[mehdi-128]

Tout compris sauf pourquoi et sont irrationnels ...

[hdci]

est un corps. Donc si et , on a et

Ici seule l'addition nous sert. Prenons un nombre alpha tel que (par exemple, )
Soit avec quelconque

Si , vu ce qui précède, également. Or : contradiction.
Donc x\notin\Q, soit en ré-écrivant avec alpha et parce que q est un rationnel quelconque, .

En particulier pour car

[mehdi-128]

Je complète, parce qu'en relisant je m'aperçois que je n'ai pas répondu à

On cherche un rationnel entre pourquoi vous parlez de prendre un irrationnel et de lui soustraire un rationnel 1/n ? Alors que nous on cherche un rationnel strictement supérieur à q1 ?

J'en étais à l'étape supérieure : et sont trouvés, et on cherche un irrationnel entre les deux.

Maintenant, à vous : connaissant et Y réel (rationnel ou pas peu importe), avec , est-on sûr de trouver tel que ?

Tout ce qui a été dit précédemment vous donne les clés pour répondre à cette question.

Il existe un rationnel tel que

Soit

Supposons Y non rationnel alors

On peut toujours trouver un rationnel plus petit que en prenant avec n bien choisi.

Ce rationnel est si on lui ajoute on obtient un rationnel qui bien

[mehdi-128]

est un corps. Donc si et , on a et

Ici seule l'addition nous sert. Prenons un nombre alpha tel que (par exemple, )
Soit avec quelconque

Si , vu ce qui précède, également. Or : contradiction.
Donc x\notin\Q, soit en ré-écrivant avec alpha et parce que q est un rationnel quelconque, .

En particulier pour car

Ca marche

J'aimerais montrer que est irrationnel.

Je sais que 2 n'est pas un carré parfait donc est irrationnel

[hdci]

Même technique que pour l'addition.
\Q est un corps donc la multiplication est stable dans

Appelez et supposez que . Que vaut alors ?

[mehdi-128]

Même technique que pour l'addition.
\Q est un corps donc la multiplication est stable dans

Appelez et supposez que . Que vaut alors ?

Supposons x alors contradiction avec irrationnel .

C'était rapide

[mehdi-128]

La suite de la démo ....

Fabriquons un irrationnel entre et

Paramétrons le segment :



Prenons
Ainsi :

Le nombre z : est bien irrationel.

Si z était rationnel alors le serait aussi et aussi contradiction !