Partie dense

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit une partie de . Si entre 2 réels distincts il existe au moins un élément de , on dit que est dense dans .

Si je note mes 2 éléments distincts avec .

L'élément de est dans ou dans ?

Dans les démonstrations de mon livre ils utilisent mais pourquoi l'intervalle ouvert et pas fermé ?

[GaBuZoMeu]

Densité de dans : l'habitude est de dire que cela signifie que pour tous de avec , il existe tel que .
Mais au fond ça n'a aucune importance : je te laisse démontrer que si on avait pris , on aurait exactement la même notion de densité.

[mehdi-128]

Merci. Il faut montrer que :

( avec , il existe tel que ) si et seulement si ( avec , il existe tel que ) ?

[GaBuZoMeu]

Oui. Une des implications est évidente, et l'autre pas très compliquée.

[mehdi-128]

( avec , il existe tel que )( avec , il existe tel que ) est évidente car

Soient avec et tel qu'il existe tel que
Je n'ai pas d'idée pour cette implication.

[GaBuZoMeu]

Tu ne prends pas très bien les choses.
On suppose que pour tous de avec , il existe tel que . (*)

Maintenant on se donne dans avec et on veut démontrer qu'il existe tel que .
Vois-tu comment choisir et sur lesquels on puisse appliquer l'hypothèse (*) pour arriver à la conclusion voulue ?

[mehdi-128]

Je voulais prendre mais du coup je dois prendre pour avoir mais ça ne marche pas.

Ça me donne l'inégalité stricte que dans un sens

[mehdi-128]

Je ne vois pas comment choisir pour conclure. Pourriez-vous m'aider SVP ?

[Tuvasbien]

Il suffit d'appliquer l'hypothèse avec deux éléments et tels que c'est à dire tels que . Pourquoi est-ce possible ? (indice : faire un dessin)

EDIT : Il suffit d'appliquer l'hypothèse avec deux éléments et tels que c'est à dire tels que . Pourquoi est-ce possible ? (indice : faire un dessin)

[GaBuZoMeu]

L'indication de Tuvasbien ne marche pas, il a dû se mélanger les pinceaux entre et etc.. On veut en fait avec . Ceci étant corrigé, la suggestion de faire un dessin est très bonne.

[Tuvasbien]

Effectivement j'ai échangé a avec x et b avec y, merci.

[GaBuZoMeu]

Il te reste encore à corriger ton en (on ne veut pas avoir !).

[mehdi-128]

Il suffit d'appliquer l'hypothèse avec deux éléments et tels que c'est à dire tels que . Pourquoi est-ce possible ? (indice : faire un dessin)

EDIT : Il suffit d'appliquer l'hypothèse avec deux éléments et tels que c'est à dire tels que . Pourquoi est-ce possible ? (indice : faire un dessin)

Merci j'ai compris le principe.
Par contre je ne sais pas répondre à la question "pourquoi est-ce possible ?"

[GaBuZoMeu]

As-tu fais un dessin ?

[Tuvasbien]

J'ai l'impression que le formalisme te perd, remplaçons par et par , est-ce que tu peux exhiber deux éléments tels que ? Tu peux généraliser à partir de ça.

[mehdi-128]

Oui j'ai fait un dessin !

Prendre et ?

[Tuvasbien]

Donc dans le cas général quelles sont des valeurs intéressantes qu'on pourrait donner à x et à y pour résoudre notre problème ?

[mehdi-128]

Soient
Soit

En effet

Puis je prends
En effet

On a aussi : donc

D'après l'hypothèse il existe un tel que :



Donc il existe un élément de dans l'intervalle

[GaBuZoMeu]

OK, sauf :

Le "soit " en début. Cette phrase veut dire que tu te donnes des réels et quelconques. Or ce n'est pas le cas, tu définis et à partir des et donnés.
9a a l'air d'être un tic de rédaction, une phrase rituelle sans signification. Fais attention à ces détails de rédaction, qui sont importants.

Une coquille : , bien sûr.

[mehdi-128]

Merci pour ces précisions.