Partie convexe de R

[mehdi-128]

D'accord...

Si j'écris où a est la borne supérieure de X et b sa borne inférieure.

Si je prends

En gros, si la borne inférieure est plus petit élément alors :

Si la borne inférieure n'appartient pas à X :

Dans tous les cas je peux écrire : ?

[hdci]

Evidemment, si alors

Tout dépend après de l'usage que vous voulez faire de . Je ne connais pas le contexte ici, mais dans certaines démonstrations on a absolument besoin de savoir que par exemple parce qu'on va faire une division.

[mehdi-128]

Le contexte était de démontrer que les parties de convexes sont des intervalles et ici on était dans le cas : X est un intervalle borné.

[mehdi-128]

L'inégalité stricte n'est pas vérifiée dans le cas suivant :

avec non ?

[pascal16]

avec tes dernières tu disais " X=]a;b[ et x€ ]a;b["

X ={0,1} ne contient que deux éléments, n'est pas un intervalle, il ne contient pas 'ensemble ouvert non vide il ne s'écrit pas [a;b], et }0,1{ n'as pas de sens ou est vide (intérieur vide)
x=1/2 ne fait pas parti de X.

[mehdi-128]

Oui mais on est dans la démo pour montrer que les parties convexes de R sont des intervalles donc on sait pas si X est un intervalle au départ c'est ce qu'on doit montrer.

[mehdi-128]

On a bien X={0,1} partie bornée et non vide donc possède une borne inf et sup.

Donc :

[hdci]

Oui, mais quel est le rapport avec ce qui précède ?

Si on veut montrer que n'est pas convexe, il faut déjà rappeler la définition de "convexe". On peut utiliser par exemple le fait que pour tout couple de l'ensemble et pour tout réel on a et il est facile de voir que ce n'est pas vrai ici

[mehdi-128]

Ah autant pour moi, je me suis trompé j'ai donné un ensemble non convexe !

Ma définition de convexe est : X est une partie convexe si :



Donc et mais n'est pas inclus dans c'est correct ?

[pascal16]

Ah autant pour moi, je me suis trompé j'ai donné un ensemble non convexe !

Ma définition de convexe est : X est une partie convexe si :



Donc et mais n'est pas inclus dans c'est correct ?

oui

Avec la définition d'hdci.

soient a et b deux éléments d'une partie X de R
si CX est le plus petit convexe contenant X, il doit contenir [a;b]

si X admet un ppe m et un pge M, CX doit contenir [m;M] et comme il contient X, [m;M] est le plus petit convexe contenant X.

[0;1] est le plus petit convexe contemant {0;1}

[mehdi-128]

Oui, mais quel est le rapport avec ce qui précède ?

Si on veut montrer que n'est pas convexe, il faut déjà rappeler la définition de "convexe". On peut utiliser par exemple le fait que pour tout couple de l'ensemble et pour tout réel on a et il est facile de voir que ce n'est pas vrai ici

Je n'ai pas encore vu la convexité de cette façon pour l'instant la seule définition du cours est :

X est une partie convexe si :

[mehdi-128]

Ah autant pour moi, je me suis trompé j'ai donné un ensemble non convexe !

Ma définition de convexe est : X est une partie convexe si :



Donc et mais n'est pas inclus dans c'est correct ?

oui

Avec la définition d'hdci.

soient a et b deux éléments d'une partie X de R
si CX est le plus petit convexe contenant X, il doit contenir [a;b]

si X admet un ppe m et un pge M, CX doit contenir [m;M] et comme il contient X, [m;M] est le plus petit convexe contenant X.

[0;1] est le plus petit convexe contemant {0;1}

C'est du chinois

[pascal16]

maintenant, quel est ton plan pour la démo ?

perso, je partirais de
Tout intervalle I non vide de R est une écriture cohérente de "[]a,b,+oo;-oo", avec a<b.
soit x un élément de I, la partie de I incluant x, supérieure à x s'écrit :
soit
[x;b]
soit
[x;b[
soit
[x;+oo[
soit 3 cas à traiter qui correspondent à
-> un ensemble E admet un PGE
-> un ensemble E est majoré, mais sans PGE
-> un ensemble E n'est pas majoré
ensuite on peut faire pareil pour tout ce qui se passe en dessous de x.