Partie convexe de R

[mehdi-128]

Bonsoir,

1/ Dans le livre Analyse MPSI de Costantini il donne la définition suivante pour le majorant :
Une partie A de E est majorée dans E si :


Et dans les démonstrations, il utilise pour une partie A non majorée :


Pourquoi ne met il pas le supérieur strict ? Je trouve ça bizarre

[hdci]

Oui, on pourrait s'attendre à ce que dans la négation l'"inférieur ou égal" devienne "supérieur strictement".

Mais est-ce important ? Je vous propose cet exercice pour y répondre:

• Montrer que, si n'admet pas de plus grand élément
  
  
  
  
• Cela reste-t-il vrai si admet un plus grand élément ?
  
• Si admet un plus grand élément, la notion de parties majorées de a-t-elle un intérêt ?

[pascal16]

perso je suis d'accord avec Mehdi

[chan79]

Et dans les démonstrations, il utilise pour une partie A non majorée :


Pourquoi ne met il pas le supérieur strict ? Je trouve ça bizarre

oui, prenons E=A={M}
A ne serait pas majoré ...

[hdci]

Oui c'est bien ce que j'écris :

Montrer que, si n'admet pas de plus grand élément [...]

Si E admet un plus grand élément, toute les parties de E sont majorées et alors l'intérêt de "parties non majorées de E" est très pauvre.

Evidemment, il faut remettre dans le contexte : je ne sais pas dans quel contexte le livre dont il est question évolue, mais s'il évolue dans des ensembles E n'ayant pas de plus grand élément (des ouverts de par exemple?), il y a bien équivalence dans les deux écritures

Si par contre le livre oublie de mentionner ce point alors oui il y a une faute

[mehdi-128]

Oui c'est bien ce que j'écris :

Montrer que, si n'admet pas de plus grand élément [...]

Si E admet un plus grand élément, toute les parties de E sont majorées et alors l'intérêt de "parties non majorées de E" est très pauvre.

Evidemment, il faut remettre dans le contexte : je ne sais pas dans quel contexte le livre dont il est question évolue, mais s'il évolue dans des ensembles E n'ayant pas de plus grand élément (des ouverts de par exemple?), il y a bien équivalence dans les deux écritures

Si par contre le livre oublie de mentionner ce point alors oui il y a une faute

Le contexte est la démonstration du théorème les intervalles sont les parties convexes de
Il suppose X non majoré et non minoré et il montre

Il écrit :
Soit
Puisque X est non majoré :
Puisque X est non minoré :

J'aurais mis inférieur strict aux 2 inégalités.

Il conclut :
Puisque X est convexe et qu'il contient x et y, X contient tout segment donc contient x.

D'où

[hdci]

Et bien dans ce contexte, l'inégalité stricte ou large n'a effectivement pas d'importance. Puisque "on prend un x quelconque, on trouve un z qui lui est supérieur ou égal" implique "on trouve un z qui lui est strictement supérieur".
En effet, puisque c'est vrai pour tout , c'est vrai également pour et on trouve un z tel que . Et comme cela donne bien le résultat.

On peut se poser la question "pourquoi inégalité large plutôt que stricte" : dans certains cas, la différence n'est pas importante comme c'est le cas ici. Mais "inégalité stricte" impose de montrer que en plus il n'y a pas égalité, donc parfois demande un effort supplémentaire. Lorsqu'on n'a pas besoin de cet effort supplémentaire, on reste sur l'inégalité large.

[mehdi-128]

J'ai pas compris ce passage :

Puisque "on prend un x quelconque, on trouve un z qui lui est supérieur ou égal" implique "on trouve un z qui lui est strictement supérieur".

[mehdi-128]

Oui, on pourrait s'attendre à ce que dans la négation l'"inférieur ou égal" devienne "supérieur strictement".

Mais est-ce important ? Je vous propose cet exercice pour y répondre:

• Montrer que, si n'admet pas de plus grand élément
  
  
  
  
• Cela reste-t-il vrai si admet un plus grand élément ?
  
• Si admet un plus grand élément, la notion de parties majorées de a-t-elle un intérêt ?

J'ai pas réussi à montrer :




L'implication droite/gauche est trivial mais l'autre implication ci-dessous je n'ai pas réussi.




J'ai juste écrit la définition de E n'admet pas de plus grand élément au cas où :

[hdci]

J'ai pas réussi à montrer :




L'implication droite/gauche est trivial mais l'autre implication ci-dessous je n'ai pas réussi.




J'ai juste écrit la définition de E n'admet pas de plus grand élément au cas où :

On a pour hypothèse (hypothèse de l'implication à démontrer)
On veut montrer que (conclusion de l'implication à démontrer)
(j'ai volontairement changé les noms, passant de à pour bien montrer que le quantificateur n'a de portée que sur la proposition qui en relève, donc les variables de la proposition "hypothèse" ne sont pas les mêmes que celles de la proposition "conclusion"

On sait par ailleurs que n'admet pas de plus grand élément. Donc pour donné, il existe tel que
Or l'hypothèse dit que il existe tel que . Et comme cela fait

[mehdi-128]

D'accord

Pour la question suivante : si E admet un plus grand élément :



Je vois pas trop comment faire, faut trouver un contre exemple ?
Un ensemble non majoré par exemple
Mais j'arrive pas à trouver la partie A

[hdci]

Si E admet un plus grand élément, alors M existe : c'est ce plus grand élément !

Exemples
1)
: il n'y a pas de plus grand élément.
: A est une partie de E et n'est pas majorée dans E : pour tout , il existe un entier n tel que

2) Même exemple sauf : là il y a un plus grand élément qui est 1, et qui est un majorant de A dans E

[mehdi-128]

1)
: il n'y a pas de plus grand élément.
: A est une partie de E et n'est pas majorée dans E : pour tout , il existe un entier n tel que

Petite question j'ai du mal à correspondre votre raisonnement avec la définition :
A est non majorée dans E si :
Il suffit de prendre un n plus grand à chaque fois.
Ma définition est correcte ?

Du coup l'inégalité stricte n'est valable que si E n'admet pas de plus grand élément ?

[hdci]

1)
: il n'y a pas de plus grand élément.
: A est une partie de E et n'est pas majorée dans E : pour tout , il existe un entier n tel que

Petite question j'ai du mal à correspondre votre raisonnement avec la définition :
A est non majorée dans E si :
Il suffit de prendre un n plus grand à chaque fois.
Ma définition est correcte ?

Du coup l'inégalité stricte n'est valable que si E n'admet pas de plus grand élément ?

Oui c'est cela. Puisque , la valeur est strictement positive, donc son inverse existe, est un nombre réel et il y a toujours un ("grand") entier au-dessus de ce nombre réel : et il en résulte que

[mehdi-128]

Ah d'accord c'est la propriété d'Archimède !

Et concernant votre dernière question :

Si E admet un plus grand élément, la notion de parties majorées de E a-t-elle un intérêt ?

Vous entendez quoi par "avoir un intérêt" ?

[hdci]

Si E a un plus grand élément, alors toutes les parties non vides de E sont majorées dans E : du coup la notion de "parties majorées dans E" n'a pas beaucoup d'intérêt...

[mehdi-128]

Je vois !

J'avais un autre souci dans le même genre dans une démo :

Soit X une partie bornée
X admet une borne inférieure a et une borne supérieure b.
Donc

Soit

x est plus grand que la borne inférieure donc x n'est pas un minorant. Idem x n'est pas un majorant.

x n'est pas un minorant de X :
Soit :

x n'est pas un majorant de X :
Soit :

D'où :

Et là l'auteur donne encore une inégalité que je trouve fausse :



Moi je trouve :

car y et z appartiennent à X donc il peuvent atteindre la valeur a ou b...

Vous en pensez quoi ?

[hdci]

La différence entre borne supérieure et plus grand élément, c'est que la borne supérieure n'appartient pas à l'ensemble, mais c'est le plus petit des majorants.

Pareil pour la borne inférieure.

Donc si et sont les bornes inf et sup de X, il y a 4 écritures possibles pour X : , , et

Si on prend , on a donc . Donc est un intervalle non vide, il y a donc bien un et cela fait bien

Si on sait que la borne inférieure est le plus petit élément, on peut mettre l'inégalité large, mais sans cette information, on ne sait pas.

[mehdi-128]

Prenons :

Soit

x n'est pas un minorant de X donc :

Or

alors

Je ne trouve pas l'inégalité stricte comme vous

[hdci]

Parce qu'ici vous avez supposé que or ça on n'en sait rien : est une borne inférieure, rien ne dit qu'elle appartient à , vous ne pouvez donc pas faire d'hypothèse que

Vous avez raison, on peut mettre l'inégalité large quand on sait que la borne inférieure est un pus petit élément.
Mais l'inégalité stricte est vraie dans tous les cas.



Alors tel que : il suffit de prendre

Le point initial était

Et là l'auteur donne encore une inégalité que je trouve fausse :



Moi je trouve :

car y et z appartiennent à X donc il peuvent atteindre la valeur a ou b...

Est-ce vraiment faux ?
L'auteur ne dit pas que "tout vérifie "
Mais il dit "il existe tel que "
C'est complètement différent

D'ailleurs vous écrivez

donc il peuvent atteindre la valeur a ou b...

Mais justement non, ils ne peuvent atteindre les valeurs a ou b que lorsque ce sont des plus petit / plus grand éléments, et pas quand ce ne sont que des bornes inf/sup