Ouvert et fermé

[MC91]

Bonjour,

Dans un exercice on me demande de montrer que R^3 privé de (x,y,0) est un ouvert. Pour cela, mon professeur a montré que (x,y,0) est un fermé.
Je ne comprends pas pourquoi cela montre que R^3 privé de (x,y,0) est ouvert. Cela découle d'une définition, d'un théorème?

Merci pour vos réponses

[Ezra]

Quelles propriétés topologiques ont : privé d'un point et privé d'une droite ? Y a-t-il des trous ? Est-ce fermé ou ouvert ?

[MC91]

Quelles propriétés topologiques ont : privé d'un point et privé d'une droite ? Y a-t-il des trous ? Est-ce fermé ou ouvert ?

Je sais que R3 est un ouvert, visuellement si on le prive d'un point ou d'une droite cela donnerait un ouvert en effet...

[LA solution]

Definition des fermés:
on appelle fermé le complement des ouverts
A bon entendeur salut

[Ben314]

Salut,
Juste pour faire le chieur (il en faut bien qui s'y collent...) :
ça :

...R^3 privé de (x,y,0) est...

ben ça veut rien dire : quand on manipule une variable, ben faut préciser la nature qu'elle a !
Ici, c'est quoi ton ensemble,
- C'est R^3 privé de TOUT les points de la forme (x,y,0) pour TOUT les (x,y) dans R^2 (donc R^3 privé d'un plan) ?
- Ou bien on prend UN point (x,y,0) fixé et c'est R^3 privé de CE POINT LA (donc R^3 privé d'un point) ?

Bon, en l'occurence, ça change rien vu quer dans les deux cas, c'est un ouvert, mais si tu commence pas par comprendre la différence entre une définition qui... définit quelque chose et un vague truc qui veut rien dire, je vois pas comment tu peut faire quand il va faloir faire la différence entre une preuve... "qui prouve" et un truc qui veut rien dire...

Aprés, effectivement, comme le dit "la solution", le fait que le compléménentaire d'un ouvert est un fermé, dans 90% des cours, c'est la définition (soit des ouverts, soit des fermés) et dans les 10% qui reste c'est le premier théorème qu'on montre concernant le lien entre les ouverts et les fermés...