Original de la transformée de Laplace

[cfuertes]

Bonjour à tous, et bonne année,
En période pré-examens, je suis entrain de faire des annales de maths, actuellement je bloque sur un énoncé utilisant l'original de la transformée de laplace

j'ai F(p) = Ln ((p²+1)/(p²))

trouver f(x)


Pourriez-vous m'indiquer par où commencer?

Merci d'avance

[cfuertes]

Personne pour me donner une piste :triste: ?

[JeanJ]

(Laplace inverse de 1/p² )=x
(Laplace inverse de 1)= fonction delta de Dirac

[cfuertes]

(Laplace inverse de 1/p² )=x
(Laplace inverse de 1)= fonction delta de Dirac

Merci Jean !

est ce que j'ai le droit de dire que c'est égal à

Ln (p²+1) + Ln (1/p²) ?

mais du coup je suis bloqué car l'originale de Ln (u) ? :help:

[ft73]

Merci Jean !

est ce que j'ai le droit de dire que c'est égal à

Ln (p²+1) + Ln (1/p²) ?

mais du coup je suis bloqué car l'originale de Ln (u) ? :help:

as-tu songé à calculer la dérivée ?

[cfuertes]

as-tu songé à calculer la dérivée ?

Si j'effectue la derivée des termes, la proposition initiale n'est plus correcte aussi ?

F'(p) = [Ln((p²+1)/p²)] '

faire ceci ?

je ne vois pas bien où je dois en venir :hein:

[ft73]

Si j'effectue la derivée des termes, la proposition initiale n'est plus correcte aussi ?

F'(p) = [Ln((p²+1)/p²)] '

faire ceci ?

je ne vois pas bien où je dois en venir :hein:

la transfo inverse de F'(p) donne -t*f(t) (fois U(t) bien sûr).
F'(p) se calcule bien à partir de ln(p²+1)-ln(p²), tout comme son original, qui te permet de déduire f(t).

[cfuertes]

la transfo inverse de F'(p) donne -t*f(t) (fois U(t) bien sûr).
F'(p) se calcule bien à partir de ln(p²+1)-ln(p²), tout comme son original, qui te permet de déduire f(t).

En faite je dois cheminer de cette façon :

j'ai F(p) , je cherche F'(p) , puis f ' (x) , puis du coup j'intègre pour trouver f(x) ? :hum:

[cfuertes]

En fin de compte, en suivant vos conseils j'ai fais ceci :

F(p)= Ln ((p²+1)/p²)

F'(p)= [ln(p²+1)]' - [ln(p²)] '

or [ln(u)]' = u'/u soit

[ln(p²+1)]' = 2p/(p²+1)

et [ln(p²)]' = 2p/p² = 2* 1/p

ainsi:

F'(p) = 2p/(p²+1) - 2* 1/p

f'(x) = 2* cos(x) - 2

soit f(x) = 2* sin(x) -2(x)

qu'en pensez vous ?

[ft73]

En fin de compte, en suivant vos conseils j'ai fais ceci :

F(p)= Ln ((p²+1)/p²)

F'(p)= [ln(p²+1)]' - [ln(p²)] '

or [ln(u)]' = u'/u soit

[ln(p²+1)]' = 2p/(p²+1)

et [ln(p²)]' = 2p/p² = 2* 1/p

ainsi:

F'(p) = 2p/(p²+1) - 2* 1/p

f'(x) = 2* cos(x) - 2

soit f(x) = 2* sin(x) -2(x)

qu'en pensez vous ?

non : F'(p) a pour original 2*cos(t)-2 ; ceci vaut -t*f(t), d'où f(t).

[JeanJ]

Merci Jean !

est ce que j'ai le droit de dire que c'est égal à

Ln (p²+1) + Ln (1/p²) ?

mais du coup je suis bloqué car l'originale de Ln (u) ? :help:

Certes non !!!

LpI((P²+1)/p²) = LpI(1+(1/p²)) = LpI(1)+LpI(1/p²)
avec LpI signifiant Laplace inverse

[ft73]

Certes non !!!

LpI((P²+1)/p²) = LpI(1+(1/p²)) = LpI(1)+LpI(1/p²)
avec LpI signifiant Laplace inverse

ok mais là on a un log, donc...

[JeanJ]

ok mais là on a un log, donc...

Ha oui ! mauvaise compréhension du symbole ...
La transformée inverse de Laplace de ln((p²+1)/p²) est :
2(1-cos(x))/x

[cfuertes]

Ha oui ! mauvaise compréhension du symbole ...
La transformée inverse de Laplace de ln((p²+1)/p²) est :
2(1-cos(x))/x

par quelles étapes arrive-t-on à cela ? :doh:

[ft73]

par quelles étapes arrive-t-on à cela ? :doh:

arf...
Par les étapes et formules que je t'ai indiquées plus haut.

[cfuertes]

arf...
Par les étapes et formules que je t'ai indiquées plus haut.

F'(p)= (2p)/(p²+1) - 2*(1/p²)

soit F'(p) = 2* [(p/(p²+1))-1/p²]

or (-1)^n * F'(p) = f[n](p)

ici n=1 donc

-F'(p)= f(p)

soit f(x)= -1* 2* (cos(x) -1 )
f(x)= 2*( 1-cos(x))

je trouve pas comment on a le 1/x qu'il me manque ?

[JeanJ]

arf...
Par les étapes et formules que je t'ai indiquées plus haut.

Oui, bien sûr et c'est la méthode la plus simple.
On peut aussi obtenir directement ce résultat grâce à l'intégrale de Bromwich.
Je me suis amusé à le faire. Mais je ne peux pas mettre sur le forum la copie de ce calcul car les documents attachés ne sont pas permis. Si vous le voulez, contactez-moi par la messagerie.

[cfuertes]

J'ai encore faux ? :cry: ?

[JeanJ]

J'ai encore faux ? ?

D'une part, il y a une erreur dans ta dérivée F'(p)
d'autre part, il semble que tu n'as pas bien lu le post de FT73, 15h11.

[cfuertes]

D'une part, il y a une erreur dans ta dérivée F'(p)
d'autre part, il semble que tu n'as pas bien lu le post de FT73, 15h11.

Pourrais-tu m'expliquer où je fais une erreur, parceque malgrès lecture et relectures je ne trouve pas:

F(p)= ln[(p²+1)/(p²)] on a donc ln (a/b) qui vaut ln a - ln b ?
donc
= ln(p²+1) - ln (p²)

F'(p): F'(a+b) = F'(a) + F'(b) , j'ai bien raison ?

[ln(u)]' = u'/u , c'est bien ça ?

donc F'(p)= 2p/(p²+1) - 2p/(p²) que l'on peut simplifier en 2* p/(p²+1) - 2* (1/p) ?
et donc j'arrive a une dérivée de F'(p)= 2 (p/(p²+1) -(1/p))

L'image de la dérivée est :

(-1)^n *pF[n](p)= t^n * f(t) (je n'invente rien, c'est mot pour mot ce que j'ai lu dans le piskounov)

ici: n=1 donc
-pF'(p)=t* f(t)

probleme je ne sais pas comment utiliser cette formule, je reconnais bien le 2*cos(t) - 2 mais j'ai un soucis avec le -p dans la formule ? et du coup le 1/x que je n'ai pas ?

Pouvez-vous me débloquer de cette situation?

Merci !