Ordre de groupe

[AlexisD]

Bonjour,

Soit G un groupe et H,K deux sous groupes de G.
Y'a-t-il un lien entre

et ?

[Nightmare]

Salut !

Peux-tu expliciter ta notation ?

[AlexisD]

c'est le groupe engendré par H et K

Je penserait plutôt que son ordre est inférieur à celui de HK, moi j'ai comme un doute inquiétant...

[abcd22]

Je penserait plutôt que son ordre est inférieur à celui de HK, moi j'ai comme un doute inquiétant...

Je pense que c'est plutôt l'inverse, il n'y a qu'à regarder les sous-groupes de Z (ou ceux de Z/nZ si on veut des groupes finis).
En fait HK est inclus dans , c'est immédiat à partir des définitions ; du coup si tous les groupes sont finis on a |HK| divise || par le théorème de Lagrange.

[yos]

si tous les groupes sont finis on a |HK| divise || par le théorème de Lagrange.

HK est pas un groupe en général.

[abcd22]

HK est pas un groupe en général.

Ah je croyais que HK
était le groupe engendré par les éléments de la forme hk avec h dans H et k dans K, je mélange avec les idéaux (où IJ est l'idéal engendré par les ij avec i dans I et j dans J).

[yos]

Avec ta version, tu retombes sur .
HK c'est juste les produits hk.
Un exo classique est de montrer que HK est un ssgroupe ssi HK=KH.

[AlexisD]

Merci pour vos explications.
En effet, je n'ai pas été précis mais je supposais que le groupe G était fini, et que HK=KH d'ou la structure de ss-groupe de G.
En effet, l'inclusion était dans l'autre sens, j'apprendrai à utiliser ma logique, pas le bon sens !