Ordre , groupe .

[naruto-next]

Bonsoir,

je dois determiner l'ordre de 2 dans Z/17Z

cette notion d'ordre à toujours était abstraite pour moi ...

[Monsieur23]

Aloha,

L'ordre d'un élément, c'est le nombre de fois que tu dois ajouter (resp. multiplier, selon le groupe) ton élément pour atteindre 0 (resp. 1).

Donc ici, combien de fois du dois ajouter 2 pour avoir 0 ?

[L.A.]

Bonjour.

Petite remarque : tu peux réfléchir à un cas plus général et pas plus difficile où 17 est remplacé par n'importe quel nombre premier p et 2 par n'importe quel élément (non nul) de Z/pZ.

[naruto-next]

Aloha,

L'ordre d'un élément, c'est le nombre de fois que tu dois ajouter (resp. multiplier, selon le groupe) ton élément pour atteindre 0 (resp. 1).

Donc ici, combien de fois du dois ajouter 2 pour avoir 0 ?

0 fois ? je comprend vraiment pas . ca peut pas être aussi simple

[arnaud32]

2*2= 4
2*3= 6
...
2*8=16
2*9=18 =1 mod 17
etc

[naruto-next]

2*2= 4
2*3= 6
...
2*8=16
2*9=18 =1 mod 17
etc

donc l'ordre de 2 est de 17 ? 2*17 = 34 = 0 mod 17

[L.A.]

C'est exact.

Tu trouves 17 et tu es dans le groupe Z/17Z...

[arnaud32]

autre methode mais qui demande qq connaissance supplementaire
si on note p l'ordre de 2 dans Z/17Z, est le cadrinal du sous groupe engendre par 2 dans Z/17Z
le th de lagrange te dit que p divise 17 (qui est le card de Z/17Z)
or 17 est premier donc p=1 ou p=17
le seul sous groupe de Z/17Z d'ordre 1 est {0} donc p=17