Ordre fini

[Ncdk]

Bonjour, je sèche complètement dut une question

Soit (G,.) un groupe et soient x,y dans G.

Montrer que si xy=xy et si x et y sont d'ordre fini, d'ordres respectifs m et n, alors xy est d'ordre fini divisant ppcm(m,n) et que si pgcd(m,n)=1, xy est d'ordre ppcm(m,n)

Je ne comprends pas la partie "alors xy est d'ordre fini divisant ppcm(m,n)" sa veut dire que l'autre de xy, notons le k, si on a un ordre de xy qui vaut k alors faut prouver que k divise ppcm(m,n) ?

[Monsieur23]

Aloha,

Première étape : montrer que xy est d'ordre fini.
Une fois que c'est fait, on note k cet ordre.
Deuxième étape : montrer que k divise ppcm(m,n)
Troisième étape : montrer que si m et n sont premiers entre eux, alors k = ppcm(m,n).

[Ncdk]

Merci, je comprends mieux :) mais pour trouver l'ordre de xy, j'ai du mal, je bidouille avec xy=xy mais en vain, je tourne en rond en fait...

[Monsieur23]

Ben en fait, la réponse est dans la question : on ne te demande pas de trouver l'ordre de xy, mais de montrer qu'il existe.

Si tu regardes la suite de la question, on te demande de montrer que k | ppcm(m,n).

Tu peux donc par exemple calculer (xy)^(ppcm(m,n))…

[Ncdk]

D'accord, je comprenais pas mais en fait c'est bon, mais le fait de calculer (xy)^ppcm(m,n) je trouve x^ppcm(m,n) * y^ppcm(m,n) mais je bloque encore, car je vois pas comment sa va prouver l'existence de xy.

[Monsieur23]

Ok, (xy)^ppcm(m,n) = x^(ppcm(m,n)) * y^(ppcm(m,n)).

Ensuite, ppcm(m,n) est un multiple de n, tu peux donc l'écrire a*n. De même, c'est un multiple de m, tu peux l'écrire b*m.

Donc

Ensuite, utilise le fait que dans un groupe,

[Ncdk]

Ah ! Donc du coup l'ordre de xy est le PPCM(m,n), mais j'ai l'impression qu'il y a un piège xD car du coup le PPCM(m,n) | PPCM(m,n) trivialement donc du coup c'est fini directement, meme pas besoin de supposé que PGCD(m,n) = 1 car on va retomber sur la même chose mais d'une manière différente en utilisant le simple fait que PPCM(m,n) = mn / PGCD(m,n) et vu que m et n premiers entre eux alors (xy)^PPCM(m,n) = (xy)^mn = ... = e

C'est sa ?

[Monsieur23]

Nan, ç'pas ça.

L'ordre d'un élément x, c'est le plus petit entier k (non nul) tel que x^k = 1.
On sait que si on a un p tel que x^p = 1, alors k <= p (normal, puisque k est le plus petit tel que…), mais aussi que k divise p.

Là, tu as montré que (xy)^ppcm(m,n) = 1, mais pas que ppcm(m,n) est le plus petit. Ça te dit juste que xy est d'ordre fini.
En plus, tu sais donc que l'ordre de xy divise ppcm(m,n).

[Ncdk]

Oh pardon oui, évidemment, je me suis mit dans la tete que c'était le plus petit...
Mais maintenant qu'il est d'ordre fini, on le note k mais qui lui est le plus petit entier tel que xy^k = e

Mais apres je sais que si k est l'ordre de xy, alors il existe un m donc dans notre cas on peut le noter PPCM(m,n) dans Z tel que (xy)^PPCM(m,n) équivaut a k | PPCM(m,n)
Mais vu que c'est un corollaire j'ai pas la preuve de sa, donc je sais pas comment le prouver autrement ^^

[Monsieur23]

J'ai pas compris ton deuxième paragraphe.

Tu veux montrer, en général, que si k est l'ordre de x, et que x^p = e, alors k divise p ?

[Ncdk]

C'est sa ;)
Je sais pas le prouver ce genre de chose

[Monsieur23]

C'est assez classique, tu devrais trouver une preuve de ça dans n'importe quel bouquin ;-)