bonjour
svp je veux résoudre cet exo,et merci d'avance
Soit G un groupe multiplicatif et a 2 G dordre np avec n ^ p = 1.
Montrer quil existe b; c 2 G uniques tels que b est dordre n, c est dordre p, a = bc = cb.
(Indication : utiliser la formule de B´ezout)
Décomposition d'un element d'ordre fini
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par yos » 24 Déc 2005, 12:21
ANALYSE : suppose a=bc=cb; alors a^n=b^n c^n=c^n
à partir de là tu peux sortir c en utilisant Bézout :nu+pv=1 . Il faut donc écrire c=c^1=c^(nu+pv)=[(c^n)^u ][(c^p)^v]=a^(nu).
Ainsi c est déterminé. Fais pareil pour b.
Tu as donc prouvé l'unicité de (b,c) sous réserve d'existence.
Ensuite te tu fais la...
SYNTHESE : il suffit de vérifier que le couple obtenu à la fin de l'analyse marche.
à partir de là tu peux sortir c en utilisant Bézout :nu+pv=1 . Il faut donc écrire c=c^1=c^(nu+pv)=[(c^n)^u ][(c^p)^v]=a^(nu).
Ainsi c est déterminé. Fais pareil pour b.
Tu as donc prouvé l'unicité de (b,c) sous réserve d'existence.
Ensuite te tu fais la...
SYNTHESE : il suffit de vérifier que le couple obtenu à la fin de l'analyse marche.
par yos » 24 Déc 2005, 13:40
A cause de b^n=1
Mais le point délicat est avant : (bc)^n=b^n c^n . C'est parce que bc=cb
Mais le point délicat est avant : (bc)^n=b^n c^n . C'est parce que bc=cb
par yos » 24 Déc 2005, 15:56
1) Si b et c ne commutait pas, on aurait (bc)^n=bcbcbcbc...bc.
Maizils commutent! donc avec n=3 par exemple : (bc)²=bcbc=bbcc=b²c².
Et ça marche évidemment pour tout exposant.
2)Dans l'analyse uniquement, on suppose l'existence de b et c vérifiant tout ce qu'il faut. On en déduit qu'ils sont d'une certaine forme. Cela nous donne l'unicité et en plus on sait à quoi doivent ressembler b et c en fonction des données a,n,p, mais aussi u et v dont l'existence provient de Bezout. A noter que u et v ne sont pas uniques mais si on remplace (u,v) par un autre couple "Bezoutien" (u-kp, v+kn), k entier, on retrouve le même couple (b,c) ce que je te laisse vérifier.
On peut aussi renverser les deux parties existence/unicité : il s'agit ici de balancer un couple (b,c) qui convient et dans un second temps de prouver l'unicité en prouvant que si (b,c) et (b',c') marchent, alors b=c et b'= c'.
Cette deuxième méthode est moins naturelle car pour balancer une solution, il a bien fallu la trouver par des recherches au brouillon qui correspondent à l'analyse. Cela dit, beaucoup de gens préfèrent cette méthode et si tu as l'habitude ainsi, ne change pas.
Maizils commutent! donc avec n=3 par exemple : (bc)²=bcbc=bbcc=b²c².
Et ça marche évidemment pour tout exposant.
2)Dans l'analyse uniquement, on suppose l'existence de b et c vérifiant tout ce qu'il faut. On en déduit qu'ils sont d'une certaine forme. Cela nous donne l'unicité et en plus on sait à quoi doivent ressembler b et c en fonction des données a,n,p, mais aussi u et v dont l'existence provient de Bezout. A noter que u et v ne sont pas uniques mais si on remplace (u,v) par un autre couple "Bezoutien" (u-kp, v+kn), k entier, on retrouve le même couple (b,c) ce que je te laisse vérifier.
On peut aussi renverser les deux parties existence/unicité : il s'agit ici de balancer un couple (b,c) qui convient et dans un second temps de prouver l'unicité en prouvant que si (b,c) et (b',c') marchent, alors b=c et b'= c'.
Cette deuxième méthode est moins naturelle car pour balancer une solution, il a bien fallu la trouver par des recherches au brouillon qui correspondent à l'analyse. Cela dit, beaucoup de gens préfèrent cette méthode et si tu as l'habitude ainsi, ne change pas.
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