Ordre fini

[Dinozzo13]

Bonjour, j'ai trouvé un exercice sur la notion d'ordre d'un élément d'un groupe. Toutefois, je n'arrive pas à le faire. Merci d'avance pour votre aide :++:

Soit un groupe quelconque et . On suppose que est d'ordre fini dans .
Montrer que est aussi d'ordre fini .

Supposons que soit le plus petit entier tel que , où désigne l'élément neutre de .
Ensuite, je devrais partir de mais je ne vois pas comment poursuivre.

[Nightmare]

Hello,

Il suffit de remarquer que yxyx...yxyx=y(xy...xy)x

[Dinozzo13]

oui, je veux bien, mais si je pars de (y*x)*(y*x)*(y*x)*...*(y*x), qu'est-ce qui me donne le droit de passer à y*(x*y)*(x*y)*...*(x*y)*x ?

[Nightmare]

Rien, ce que tu as écrit est faux.

Par contre, on a (y*x)*(y*x)*....*(y*x)=y*(x*y)*(x*y)*....*(x*y)*x et ce qui le justifie, c'est simplement l'associativité de *.

[ffpower]

Il a écrit la même formule que toi hein^^

[Nightmare]

Pour ma défense, le dernier *x de Dino a été rajouté par édit ou alors c'est que j'ai rêvé.

[Dinozzo13]

oulà, je ne comprends pas là.
C'est pas ce que j'ai écrit lors de mon précédent post ?

[Nightmare]

Bon bah j'ai dû rêver alors, autant pour moi.

[Dinozzo13]

Rien, ce que tu as écrit est faux.

Par contre, on a (y*x)*(y*x)*....*(y*x)=y*(x*y)*(x*y)*....*(x*y)*x et ce qui le justifie, c'est simplement l'associativité de *.

Je suis d'accord sur le fait que :
(y*x)*(y*x)*....*(y*x)=y*(x*y)*(x*y)*....*(x*y)*x
Et comment poursuis-t-on alors

[Nightmare]

Utilise l'hypothèse. Je te laisse y réfléchir.

[Dinozzo13]

Ben on a :

[Nightmare]

Je suis d'accord avec la première égalité mais pas avec la deuxième!

[ffpower]

Pourquoi ta dernière égalité? (edit:oups^^)

[Dinozzo13]

euh oui !!

C'est

[Nightmare]

Oui, mais encore?

[Dinozzo13]

Ben je dirai, que c'est égal à , mais je n'en ai aucune certitude.

[Nightmare]

Oui, c'est qu'on veut montrer, donc t'as déjà la certitude de l'énoncé...

Mais pourquoi est-ce bien égal à e? Que vaut (xy)^(-1) ?

[Dinozzo13]

ah oui, j'avais confondus : et

[Dinozzo13]

oui, donc du coup ?
et donc est aussi d'ordre .

[Nightmare]

Oui, (yx)^p=e mais on ne peut pas en conclure que l'ordre est p !